Theorem evl1expd 19709

Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f	⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 18558	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		evl1addd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 19618	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7	6	ringmgp 18553	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8	3, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9		evl1expd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 475	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
13	6, 12	mgpbas 18495	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
14		evl1expd.f	. . . 4 ⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
15	13, 14	mulgnn0cl 17558	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
16	8, 9, 11, 15	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
17		evl1addd.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
19		evl1addd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20	17, 4, 18, 19	evl1rhm 19696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	1, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
23	6, 22	rhmmhm 18722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
25		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	13, 14, 25	mhmmulg 17583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
27	24, 9, 11, 26	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
28		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
29		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
30		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
31	19, 30	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
34		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
35		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
36		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
37		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
38	18, 32, 33, 22, 34, 35, 36, 37	pwsmgp 18618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
39	1, 31, 38	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
40	39	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
41		ssv 3625	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V)
43		ovexd 6680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
44	39	simprd 479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
45	44	oveqdr 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
46	25, 28, 29, 40, 42, 43, 45	mulgpropd 17584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
47	46	oveqd 6667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
48	27, 47	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
49	48	fveq1d 6193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌))
50	32	ringmgp 18553	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
51	3, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
52	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
53		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
54	12, 53	rhmf 18726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
55	21, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	55, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	22, 53	mgpbas 18495	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
58	57, 40	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
59	56, 58	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
60		evl1addd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
61		evl1expd.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
62	33, 35, 28, 61	pwsmulg 17587	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
63	51, 52, 9, 59, 60, 62	syl23anc 1333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
64	10	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
65	64	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 ↑ 𝑉))
66	63, 65	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
67	49, 66	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
68	16, 67	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   ↑_s cpws 16107  Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-evl1 19681

This theorem is referenced by:  evl1varpwval  19726  plypf1  23968  lgsqrlem1  25071  idomrootle  37773