Theorem evlssca 19522

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlssca.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlssca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlssca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evlssca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlssca.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlssca.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlssca.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlssca.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlssca.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlssca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
9		evlssca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		evlssca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 19520	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑𝑚 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
15	14	simprld 795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥})))
16	15	fveq1d 6193	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	7	subrgring 18783	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
20	3, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
21	5, 17, 18, 10, 1, 20	mplasclf 19497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
22	9	subrgss 18781	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	7, 9	ressbas2 15931	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
24	3, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
25	24	feq2d 6031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
26	21, 25	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27		evlssca.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
28		fvco3 6275	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
29	26, 27, 28	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
30		sneq 4187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
31	30	xpeq2d 5139	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑋}))
32		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
33		snex 4908	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	32, 33	xpex 6962	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
35	31, 11, 34	fvmpt 6282	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑋}))
36	27, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑋}))
37	16, 29, 36	3eqtr3d 2664	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑𝑚 𝐼) × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   ↑_s cpws 16107  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  SubRingcsubrg 18776  algSccascl 19311   mVar cmvr 19352   mPoly cmpl 19353   evalSub ces 19504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-evls 19506

This theorem is referenced by:  evlsscasrng  19526  evlsca  19527  mpfconst  19530  mpfind  19536  evls1sca  19688  evl1sca  19698  pf1ind  19719