Theorem fmtno4nprmfac193 41486

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 11316	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 11186	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 11310	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 11031	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 11518	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 11525	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 11313	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 11312	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 11311	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 11309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 11314	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 11315	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 11180	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 2, 39, 40	decmul1 11585	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 11100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 10228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 11617	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 10228	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 11572	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 11535	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 11623	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 11572	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 11535	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 11621	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 11580	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 11568	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 11626	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 11587	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 11152	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 11579	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 11587	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 11589	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 11535	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 11151	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 11570	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addid1i 10223	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 11570	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 11515	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 11192	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 11229	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 11530	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 11532	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 41464	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 4661	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 313	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493   ∥ cdvds 14983  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  41487