Theorem gtned 10172

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 10134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  ltned  10173  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  hashfun  13224  abssubne0  14056  rpnnen2lem9  14951  rpnnen2lem11  14953  coe1tmmul2  19646  iccpnfcnv  22743  iccpnfhmeo  22744  pmltpclem2  23218  voliunlem1  23318  dvferm1lem  23747  lhop2  23778  ftc1lem5  23803  vieta1lem2  24066  geolim3  24094  logtayl  24406  atanre  24612  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  perfectlem2  24955  axlowdimlem16  25837  clwwisshclwwslem  26927  frgrogt3nreg  27255  nn0sqeq1  29513  esumcvgre  30153  eulerpartlems  30422  hgt750lem  30729  ivthALT  32330  unbdqndv2lem2  32501  knoppndvlem17  32519  poimirlem11  33420  poimirlem12  33421  poimirlem24  33433  pellfundne1  37453  eliccelioc  39747  fmul01lt1lem1  39816  lptre2pt  39872  cncfiooicclem1  40106  cncfioobdlem  40109  dvnmul  40158  ditgeqiooicc  40176  itgioocnicc  40193  iblcncfioo  40194  wallispilem4  40285  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem5  40295  fourierdlem4  40328  fourierdlem34  40358  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem61  40384  fourierdlem73  40396  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem84  40407  fourierdlem93  40416  fourierdlem111  40434  fouriersw  40448  etransclem35  40486  qndenserrnbllem  40514  nnfoctbdjlem  40672  hoidmvlelem3  40811  hoiqssbllem2  40837  smfmullem1  40998  sfprmdvdsmersenne  41520  lighneallem2  41523  perfectALTVlem2  41631