perfectALTVlem2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem perfectALTVlem2 41631

Description: Lemma for perfectALTV 41632. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
perfectALTVlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Odd )
perfectALTVlem.4	⊢ (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
perfectALTVlem2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Proof of Theorem perfectALTVlem2 Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectALTVlem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2		1re 10039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		perfectALTVlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
5		perfectALTVlem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Odd )
6		perfectALTVlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
7	4, 1, 5, 6	perfectALTVlem1 41630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8	7	simp3d 1075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
9	8	nnred 11035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
10	1	nnred 11035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	8	nnge1d 11063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
12		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		exp1 12866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
15		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
16	14, 15	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
17		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
20	4	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
21	20	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
22		1lt2 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
24	4	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
25		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ⁺) → 1 < (1 + 𝐴))
26	2, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 + 𝐴))
27		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
30	27, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) = (𝐴 + 1))
31	26, 30	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐴 + 1))
32		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 1 < (𝐴 + 1))) → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
33	18, 19, 21, 23, 31, 32	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑1) < (2↑(𝐴 + 1)))
34	16, 33	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)))
35	7	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
36	35	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
37	3, 3, 36	ltaddsubd 10627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
38	34, 37	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
39		1rp 11836	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ⁺)
41		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
42	36, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
43		expgt1 12898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
44	18, 20, 23, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
45		posdif 10521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
46	2, 36, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
47	44, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
48	42, 47	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
49		elrp 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ⁺ ↔ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
50	48, 49	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℝ⁺)
51		nnrp 11842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
53	40, 50, 52	ltdiv2d 11895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 < ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1)))
54	38, 53	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < (𝐵 / 1))
55	1	nncnd 11036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
56	55	div1d 10793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 1) = 𝐵)
57	54, 56	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) < 𝐵)
58	3, 9, 10, 11, 57	lelttrd 10195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
59		eluz2b2 11761	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐵))
60	1, 58, 59	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2))
61		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
62		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
63	1, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
64		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
65	61, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
67		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ ℕ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} ⊆ ℕ)
69	68	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
70	69	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
71	69	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
72	71	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
73		df-tp 4182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛})
74		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
75	8, 1, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ⊆ ℕ)
77		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℕ)
78	77	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {𝑛} ⊆ ℕ)
79	76, 78	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}) ⊆ ℕ)
80	73, 79	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ ℕ)
81		eltpi 4229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 𝑛))
82	7	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
83	82	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
84	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ)
85		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℤ) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
86	83, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
87	82	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
88	82	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ≠ 0)
89	55, 87, 88	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = 𝐵)
90	86, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵)
91		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∥ 𝐵))
92	90, 91	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥 ∥ 𝐵))
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑥 ∥ 𝐵))
94	1	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
95		iddvds 14995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ 𝐵)
97		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
98	96, 97	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∥ 𝐵))
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 ∥ 𝐵))
100		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∥ 𝐵)
101		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ 𝑛 ∥ 𝐵))
102	100, 101	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 = 𝑛 → 𝑥 ∥ 𝐵))
103	93, 99, 102	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 𝑛) → 𝑥 ∥ 𝐵))
104	81, 103	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} → 𝑥 ∥ 𝐵))
105	104	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑥 ∥ 𝐵)
106	80, 105	ssrabdv 3681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵})
107	66, 70, 72, 106	fsumless 14528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
109		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
110	108, 109	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {𝑛}) = ∅)
111	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {𝑛}))
112		tpfi 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛} ∈ Fin)
114	80	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℕ)
115	114	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}) → 𝑘 ∈ ℂ)
116	110, 111, 113, 115	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘))
117	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ)
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
119	118	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
120	8, 117, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝑘 = 𝐵)
122	121	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
123	1, 55, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘 = 𝐵)
124	120, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
125		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵})
126	9, 57	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
127		disjsn2 4247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝐵} ∩ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}) = ∅)
129	125, 128	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∩ {𝐵}) = ∅)
130		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵})
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))} ∪ {𝐵}))
132		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∈ Fin)
134	75	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
135	134	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
136	129, 131, 133, 135	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝑘))
137	87, 55	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) ∈ ℂ)
138	55, 137, 87, 88	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
139	35	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
140	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
141	139, 140, 55	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
142	55	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
144	141, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵))
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)))
146	139, 55	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∈ ℂ)
147	55, 146	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) − 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
148	145, 147	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
150	139, 55, 87, 88	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
151	149, 150	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
152	55, 87, 88	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 𝐵)
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
154	138, 151, 153	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) + 𝐵))
155	124, 136, 154	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
156	155	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
157	77	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℂ)
158		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝑘 = 𝑛)
159	158	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
160	157, 157, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘 = 𝑛)
161	156, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {𝑛}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
162	116, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 𝑛}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
163	4	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
164		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
165	12, 163, 164	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
166		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
167		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
168	166, 163, 167	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
169	168	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
170		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
171	169, 12, 170	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
172	165, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
174	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
175	174, 169, 55	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
176		isodd7 41577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1))
177		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1) → (2 gcd 𝐵) = 1)
178	176, 177	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Odd → (2 gcd 𝐵) = 1)
179	5, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
180		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℤ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
182		rpexp1i 15433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ₀) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
183	181, 94, 163, 182	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
184	179, 183	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
185		sgmmul 24926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
186	140, 168, 1, 184, 185	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
187		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
188	28, 27, 187	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
191		1sgm2ppw 24925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
192	20, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
193	190, 192	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
194	193	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
195	186, 6, 194	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
196	173, 175, 195	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
197	196	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
198		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
199		sgmnncl 24873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
200	198, 1, 199	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
201	200	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℂ)
202	201, 87, 88	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)) / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = (1 σ 𝐵))
203	197, 150, 202	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) = (1 σ 𝐵))
204		sgmval 24868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} (𝑘↑_𝑐1))
205	27, 1, 204	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} (𝑘↑_𝑐1))
206		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵})
207	67, 206	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
208	207	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
209	208	cxp1d 24452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑_𝑐1) = 𝑘)
210	209	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵} (𝑘↑_𝑐1) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
211	203, 205, 210	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
212	211	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
213	107, 162, 212	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
214	36, 9	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
215	214	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ)
216	77	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
217	215, 216	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛))
218	77	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → 𝑛 ∈ ℝ)
219	215, 218	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ∈ ℝ)
220	215, 219	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
221	217, 220	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}) → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 𝑛) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
222	213, 221	condan 835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) → 𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
223		elpri 4197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
224	222, 223	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∥ 𝐵)) → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))
225	224	expr 643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
226	225	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
227	3, 58	gtned 10172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
228	227	necomd 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
229		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
231		1dvds 14996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐵)
232	94, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∥ 𝐵)
233		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
234		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ↔ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
235		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 = 𝐵 ↔ 1 = 𝐵))
236	234, 235	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵)))
237	233, 236	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
238	237	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)) → (1 ∥ 𝐵 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))))
239	230, 226, 232, 238	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 1 = 𝐵))
240	239	ord 392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 = 𝐵))
241	240	necon1ad 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≠ 𝐵 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
242	228, 241	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
243	242	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
244	243	orbi1d 739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵) ↔ (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵)))
245	244	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
246	245	ralbidv 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑛 = 𝐵))))
247	226, 246	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵)))
248		isprm2 15395	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 ∥ 𝐵 → (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 𝐵))))
249	60, 247, 248	sylanbrc 698	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℙ)
250	214	ltp1d 10954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
251		peano2re 10209	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) ∈ ℝ → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
252	214, 251	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ∈ ℝ)
253	214, 252	ltnled 10184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) < (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ↔ ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
254	250, 253	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
255	207	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℝ)
256	207	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
257	256	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}) → 0 ≤ 𝑘)
258		df-tp 4182	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1})
259		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → {1} ⊆ ℕ)
260	229, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {1} ⊆ ℕ)
261	75, 260	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}) ⊆ ℕ)
262	258, 261	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
263		eltpi 4229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → (𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 1))
264		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ 𝐵 ↔ 1 ∥ 𝐵))
265	232, 264	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 1 → 𝑥 ∥ 𝐵))
266	92, 98, 265	3jaod 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 1) → 𝑥 ∥ 𝐵))
267	263, 266	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} → 𝑥 ∥ 𝐵))
268	267	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑥 ∥ 𝐵)
269	262, 268	ssrabdv 3681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵})
270	65, 255, 257, 269	fsumless 14528	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
271	270	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 ≤ Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘)
272	55, 87, 88	diveq1ad 10810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 ↔ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
273	272	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1 ↔ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
274	273	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ≠ 1)
275	274	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
276	228	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → 1 ≠ 𝐵)
277	275, 276	nelprd 4203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
278		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵})
279	277, 278	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∩ {1}) = ∅)
280	258	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} = ({(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵} ∪ {1}))
281		tpfi 8236	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin
282	281	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ∈ Fin)
283	262	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1} ⊆ ℕ)
284	283	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℕ)
285	284	nncnd 11036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}) → 𝑘 ∈ ℂ)
286	279, 280, 282, 285	fsumsplit 14471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘))
287		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → 𝑘 = 1)
288	287	sumsn 14475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
289	140, 27, 288	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {1}𝑘 = 1)
290	155, 289	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
291	290	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵}𝑘 + Σ𝑘 ∈ {1}𝑘) = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
292	286, 291	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {(𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)), 𝐵, 1}𝑘 = (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1))
293	211	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝐵}𝑘 = ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
294	271, 292, 293	3brtr3d 4684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))))
295	294	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))))
296	295	necon1bd 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) + 1) ≤ ((2↑(𝐴 + 1)) · (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))) → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
297	254, 296	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
298	249, 297	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℙ ∧ 𝐵 = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∨ w3o 1036 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 {crab 2916 ∪ cun 3572 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 {csn 4177 {cpr 4179 {ctp 4181 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 Fincfn 7955 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℝ⁺crp 11832 ...cfz 12326 ↑cexp 12860 Σcsu 14416 ∥ cdvds 14983 gcd cgcd 15216 ℙcprime 15385 ↑_𝑐ccxp 24302 σ csgm 24822 Odd codd 41538

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-sgm 24828 df-even 41539 df-odd 41540

This theorem is referenced by: perfectALTV 41632

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