Theorem rpnnen2lem9 14951

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem9	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nnz 11399	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eqidd 2623	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4		eluznn 11758	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		difss 3737	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6		rpnnen2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	6	rpnnen2lem2 14944	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
9	8	ffvelrni 6358	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
12	6	rpnnen2lem5 14947	. . . 4 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
13	5, 12	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 3, 11, 13	isum1p 14573	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
15	6	rpnnen2lem1 14943	. . . . 5 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
16	5, 15	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17		neldifsnd 4322	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
18	17	iffalsed 4097	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
21		peano2nn 11032	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 11481	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24		eluznn 11758	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	21, 24	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
28		3nn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
29		nndivre 11056	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
31	30	recni 10052	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33		0re 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		3re 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
35		3pos 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
36	34, 35	recgt0ii 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 3)
37	33, 30, 36	ltleii 10160	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
38		absid 14036	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
39	30, 37, 38	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40		1lt3 11196	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
41		recgt1 10919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
42	34, 35, 41	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
43	40, 42	mpbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
44	39, 43	eqbrtri 4674	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
46	21	nnnn0d 11351	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
47	6	rpnnen2lem1 14943	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
48	5, 47	mpan 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
49	25, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		eluzle 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
55	25, 54	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
56	53, 55	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
57	51, 56	gtned 10172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ≠ 𝑀)
58		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 𝑀))
59	25, 57, 58	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
60	59	iftrued 4094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
61	49, 60	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
62	32, 45, 46, 61	geolim2 14602	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
63	20, 22, 23, 26, 62	isumclim 14488	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
64	19, 63	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
65	14, 64	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  𝒫 cpw 4158  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  3c3 11071  ℤ_≥cuz 11687  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  14953