Theorem clwwisshclwwslem 26927

Description: Lemma for clwwisshclwws 26928. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslem	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝑖,𝑊,𝑗

Proof of Theorem clwwisshclwwslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		cshwlen 13545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
3	1, 2	sylan2 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
4	3	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
5	4	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) = (0..^((#‘𝑊) − 1)))
6	5	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
8		simpll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
12		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
15	14	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
16		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑊) − 1)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
17	13, 11, 15, 16	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑊) − 1)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑊) − 1)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑊) − 1)))
20		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑊) − 1)) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
23		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
24	8, 9, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗) = (𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
25		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)))
26	25	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
28		elfzom1p1elfzo 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
29	27, 28	sylan 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
30		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1)) = (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
32	24, 31	preq12d 4276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))})
33	32	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} = {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))})
34		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℤ)
36		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
37	36	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
38		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
40		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ≠ 0)
41	40	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ≠ 0)
42		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
43		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
47		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
48	47	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 ≤ 𝑁)
49		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 𝑁 < (#‘𝑊))
50	42, 44, 46, 48, 49	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 1 < (#‘𝑊))
51	42, 50	gtned 10172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ≠ 1)
52		nn0n0n1ge2 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 1) → 2 ≤ (#‘𝑊))
53	39, 41, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
54		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
55	35, 37, 53, 54	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
56	25, 55	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
57	56	ad3antlr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2))
58		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
59	58	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	1	ad3antlr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simplrl 800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
62		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
64	63	preq1d 4274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)})
65	64	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
66	65	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
67	66	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
68	67	impcom 446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
69	68	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)
70		clwwisshclwwslemlem 26926	. . . . . . 7 ⊢ ((((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑊‘((#‘𝑊) − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
71	57, 59, 60, 61, 69, 70	syl311anc 1340	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {(𝑊‘((𝑗 + 𝑁) mod (#‘𝑊))), (𝑊‘(((𝑗 + 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))} ∈ 𝐸)
72	33, 71	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
73	72	ex 450	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
74	7, 73	sylbid 230	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)) → {((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))
75	74	ralrimiv 2965	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸)
76	75	ex 450	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (1..^(#‘𝑊))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑗 ∈ (0..^((#‘(𝑊 cyclShift 𝑁)) − 1)){((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑗), ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(𝑗 + 1))} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  26928