Theorem dvferm1lem 23747

Description: Lemma for dvferm 23751. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm1.z	⊢ (𝜑 → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
dvferm1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm1.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm1.x	⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm1lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		dvferm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
3		dvfre 23714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
5		dvferm.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
6	4, 5	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
8	7	subidd 10380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
9		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
10		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
11		ndmioo 12202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
12	11	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
14	13	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
15		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
17	16	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
18		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
19	18, 9	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
21		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑈 → 𝐴 ≤ 𝑈))
22	14, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 → 𝐴 ≤ 𝑈))
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑈)
24		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑈) → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
25	14, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
26		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
27	25, 26	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
28		dvferm1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)
29	13	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		dvferm1.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
31	30	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
32	19, 31	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*)
34	29, 33	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ*)
35		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
37		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → -∞ < 𝑈)
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑈)
39	16	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
40	36, 20, 29, 38, 39	xrlttrd 11990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐵)
41		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
42	32, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 + 𝑇))
43		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (-∞ < (𝑈 + 𝑇) ↔ -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
45	43, 44	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ < 𝐵 ∧ -∞ < (𝑈 + 𝑇)) → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
46	40, 42, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
47		xrmin2 12009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
48	29, 33, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))
49		xrre 12000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ (𝑈 + 𝑇))) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
50	34, 32, 46, 48, 49	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ)
51	19, 50	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) ∈ ℝ)
52	51	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) ∈ ℝ)
53	28, 52	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
54	19, 30	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑇))
55		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < 𝐵 ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
56		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 + 𝑇) = if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) → (𝑈 < (𝑈 + 𝑇) ↔ 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
57	55, 56	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 < 𝐵 ∧ 𝑈 < (𝑈 + 𝑇)) → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
58	39, 54, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
59		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
60	19, 50, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2)))
61	58, 60	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2))
62	61, 28	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝑆)
63	53	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
64		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ∈ ℝ) → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
65	19, 50, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ↔ ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))))
66	58, 65	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇))) / 2) < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
67	28, 66	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)))
68		xrmin1 12008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑇) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
69	29, 33, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑇), 𝐵, (𝑈 + 𝑇)) ≤ 𝐵)
70	63, 34, 29, 67, 69	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝐵)
71		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
72	20, 29, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐵)))
73	53, 62, 70, 72	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵))
74	27, 73	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
75	19, 62	gtned 10172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
76		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
77	74, 75, 76	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
78		dvferm1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
79	19, 53, 62	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑆)
80	19, 53, 79	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑆 − 𝑈))
81	53, 50, 32, 67, 48	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑈 + 𝑇))
82	53, 19, 31	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 − 𝑈) < 𝑇 ↔ 𝑆 < (𝑈 + 𝑇)))
83	81, 82	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) < 𝑇)
84	80, 83	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
85	75, 84	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
86		neeq1 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
87		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
89	88	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
90	86, 89	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
93	92, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
96	95	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
97	90, 96	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
98	97	rspcv 3305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
99	77, 78, 85, 98	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
100	1, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
101	26, 9	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
102	1, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
103	100, 102	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
104	53, 19	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
105	19, 53	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝑆 ↔ 0 < (𝑆 − 𝑈)))
106	62, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑆 − 𝑈))
107	104, 106	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ+)
108	103, 107	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
109	108, 6, 6	absdifltd 14172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
110	99, 109	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
111	110	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
112	8, 111	eqbrtrrd 4677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
113		gt0div 10889	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
114	103, 104, 106, 113	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
115	112, 114	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
116	102, 100	posdifd 10614	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
117	115, 116	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
118		dvferm1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
119		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
120	119	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
121	120	rspcv 3305	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
122	73, 118, 121	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
123	100, 102	lenltd 10183	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆)))
124	122, 123	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
125	117, 124	pm2.65i 185	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  abscabs 13974   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvferm1  23748