knoppndvlem11 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem11 32513

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem11.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem11.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem11.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
knoppndvlem11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem11.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem11.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem11	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑛,𝑁,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥,𝑖) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑁(𝑖)

**Proof of Theorem knoppndvlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
2		knoppndvlem11.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
3		knoppndvlem11.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
4		knoppndvlem11.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem11.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
7	6	knoppndvlem3 32505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
8	7	simpld 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		knoppndvlem11.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
14	2, 3, 5, 9, 11, 13	knoppcnlem3 32485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
16		knoppndvlem11.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	2, 3, 5, 9, 17, 13	knoppcnlem3 32485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
20	1, 15, 19	fsumsub 14520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
21	20	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
22	21	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))))
23	15, 19	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
24	1, 23	fsumcl 14464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
25	24	abscld 14175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
26	23	abscld 14175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
27	1, 26	fsumrecl 14465	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
28	10, 16	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29	abscld 14175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
31		2re 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
33		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
36	8	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36	abscld 14175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
38	35, 37	remulcld 10070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
40	39, 13	reexpcld 13025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	1, 40	fsumrecl 14465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
42	30, 41	remulcld 10070	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
43	1, 23	fsumabs 14533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))))
44	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
45	44, 40	remulcld 10070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
46	3, 11, 13	knoppcnlem1 32483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))))
47	3, 17, 13	knoppcnlem1 32483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
48	46, 47	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
49	9, 13	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℝ)
50	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
51	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
52	51, 13	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℝ)
53	52, 11	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) ∈ ℝ)
54	2, 53	dnicld2 32463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) ∈ ℂ)
56	52, 17	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℝ)
57	2, 56	dnicld2 32463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
59	50, 55, 58	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵))) − ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
61	48, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = ((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
63	55, 58	subcld 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℂ)
64	50, 63	absmuld 14193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
65	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65, 13	absexpd 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐶↑𝑖)) = ((abs‘𝐶)↑𝑖))
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐶↑𝑖)) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
68	64, 67	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝐶↑𝑖) · ((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
69	62, 68	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))))
70	63	abscld 14175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ∈ ℝ)
71	53, 56	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℝ)
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) ∈ ℂ)
73	72	abscld 14175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) ∈ ℝ)
74	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
75	74, 13	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℝ)
76	65	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ (abs‘𝐶))
77	74, 13, 76	expge0d 13026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑖))
78	2, 56, 53	dnibnd 32481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) ≤ (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
79	70, 73, 75, 77, 78	lemul2ad 10964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))))
80	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
81	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
82	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)) = ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))
84	83	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴)))
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))))
86	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
87	80, 86	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
88	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 13	absexpd 14191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖))
90	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
91	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
92	90, 91	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 2
94	31	absidi 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs‘2) = 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
97		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
98		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
99		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
101		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
102	4, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
103	97, 98, 34, 100, 102	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
104	34, 103	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
105	96, 104	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
106	92, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(2 · 𝑁))↑𝑖) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
109	89, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) = ((2 · 𝑁)↑𝑖))
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
111	87, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · (𝐵 − 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
112	85, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
114	75	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘𝐶)↑𝑖) ∈ ℂ)
115	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
116	114, 80, 115	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
117	116	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
118	114, 80	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℂ)
119	118, 115	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))))
120	114, 80	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
121	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
122	88, 121, 13	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)))
123	122	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((abs‘𝐶)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
124	120, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖)) = (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖))
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((abs‘𝐶)↑𝑖) · ((2 · 𝑁)↑𝑖))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
126	117, 119, 125	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (((2 · 𝑁)↑𝑖) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
127	113, 126	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵) − (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
128	79, 127	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((abs‘𝐶)↑𝑖) · (abs‘((𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐵)) − (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
129	69, 128	eqbrtrd 4675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
130	1, 26, 45, 129	fsumle 14531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
131	30	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
132	124, 118	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℂ)
133	1, 131, 132	fsummulc2 14516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
134	133	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
135	130, 134	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(abs‘(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
136	25, 27, 42, 43, 135	letrd 10194	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
137	22, 136	eqbrtrd 4675	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 (,)cioo 12175 ...cfz 12326 ⌊cfl 12591 ↑cexp 12860 abscabs 13974 Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417

This theorem is referenced by: knoppndvlem14 32516

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