Theorem knoppndvlem11 32513

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 28-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem11.t	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
knoppndvlem11.f	|- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
knoppndvlem11.a	|- ( ph -> A e. RR )
knoppndvlem11.b	|- ( ph -> B e. RR )
knoppndvlem11.c	|- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
knoppndvlem11.j	|- ( ph -> J e. NN0 )
knoppndvlem11.n	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem11	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, n, y   x, A, i   B, i, n, y   x, B   C, n, y   i, J, n, y   n, N, y   x, N   T, n, y   ph, i, n, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x, i)   T( x, i)   F( x, y, i, n)   J( x)   N( i)

Proof of Theorem knoppndvlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( J - 1 ) ) e. Fin )
2		knoppndvlem11.t	. . . . . . 7 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
3		knoppndvlem11.f	. . . . . . 7 |- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
4		knoppndvlem11.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> N e. NN )
6		knoppndvlem11.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
7	6	knoppndvlem3 32505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. RR /\ ( abs ` C ) < 1 ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> C e. RR )
10		knoppndvlem11.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> B e. RR )
12		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) -> i e. NN0 )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> i e. NN0 )
14	2, 3, 5, 9, 11, 13	knoppcnlem3 32485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` i ) e. RR )
15	14	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` i ) e. CC )
16		knoppndvlem11.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> A e. RR )
18	2, 3, 5, 9, 17, 13	knoppcnlem3 32485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` i ) e. RR )
19	18	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` i ) e. CC )
20	1, 15, 19	fsumsub 14520	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) )
21	20	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) = sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) )
22	21	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) = ( abs ` sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) )
23	15, 19	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) e. CC )
24	1, 23	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) e. CC )
25	24	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) e. RR )
26	23	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) e. RR )
27	1, 26	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) e. RR )
28	10, 16	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
30	29	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) e. RR )
31		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. RR )
33		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
35	32, 34	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
36	8	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
37	36	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
38	35, 37	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
39	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
40	39, 13	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) e. RR )
41	1, 40	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) e. RR )
42	30, 41	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) e. RR )
43	1, 23	fsumabs 14533	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) )
44	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. RR )
45	44, 40	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) e. RR )
46	3, 11, 13	knoppcnlem1 32483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( F ` B ) ` i ) = ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) ) )
47	3, 17, 13	knoppcnlem1 32483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( F ` A ) ` i ) = ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) )
48	46, 47	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) = ( ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) ) - ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) )
49	9, 13	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( C ^ i ) e. RR )
50	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( C ^ i ) e. CC )
51	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
52	51, 13	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ i ) e. RR )
53	52, 11	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) e. RR )
54	2, 53	dnicld2 32463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) e. RR )
55	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) e. CC )
56	52, 17	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) e. RR )
57	2, 56	dnicld2 32463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) e. CC )
59	50, 55, 58	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( C ^ i ) x. ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) = ( ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) ) - ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) )
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) ) - ( ( C ^ i ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) = ( ( C ^ i ) x. ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) )
61	48, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) = ( ( C ^ i ) x. ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) = ( abs ` ( ( C ^ i ) x. ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) )
63	55, 58	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) e. CC )
64	50, 63	absmuld 14193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( C ^ i ) x. ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( C ^ i ) ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) )
65	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> C e. CC )
66	65, 13	absexpd 14191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( C ^ i ) ) = ( ( abs ` C ) ^ i ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( C ^ i ) ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) )
68	64, 67	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( C ^ i ) x. ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) )
69	62, 68	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) )
70	63	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) e. RR )
71	53, 56	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) e. RR )
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) e. CC )
73	72	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) e. RR )
74	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
75	74, 13	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` C ) ^ i ) e. RR )
76	65	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
77	74, 13, 76	expge0d 13026	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` C ) ^ i ) )
78	2, 56, 53	dnibnd 32481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) )
79	70, 73, 75, 77, 78	lemul2ad 10964	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) <_ ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) )
80	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ i ) e. CC )
81	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> B e. CC )
82	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> A e. CC )
83	80, 81, 82	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( B - A ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) )
84	83	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( B - A ) ) )
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) = ( abs ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( B - A ) ) ) )
86	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( B - A ) e. CC )
87	80, 86	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
88	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
89	88, 13	absexpd 14191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) = ( ( abs ` ( 2 x. N ) ) ^ i ) )
90	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2 e. CC )
91	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. CC )
92	90, 91	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 x. N ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` N ) ) )
93		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 <_ 2
94	31	absidi 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 <_ 2 -> ( abs ` 2 ) = 2 )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs ` 2 ) = 2
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` 2 ) = 2 )
97		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 e. RR )
98		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 1 e. RR )
99		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 <_ 1
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
101		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
102	4, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 1 <_ N )
103	97, 98, 34, 100, 102	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ N )
104	34, 103	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` N ) = N )
105	96, 104	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` N ) ) = ( 2 x. N ) )
106	92, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 x. N ) ) = ( 2 x. N ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 2 x. N ) ) ^ i ) = ( ( 2 x. N ) ^ i ) )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( 2 x. N ) ) ^ i ) = ( ( 2 x. N ) ^ i ) )
109	89, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ i ) )
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
111	87, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( B - A ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
112	85, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) )
114	75	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` C ) ^ i ) e. CC )
115	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. CC )
116	114, 80, 115	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) )
117	116	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) )
118	114, 80	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) e. CC )
119	118, 115	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) = ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) ) )
120	114, 80	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( ( abs ` C ) ^ i ) ) )
121	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` C ) e. CC )
122	88, 121, 13	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( ( abs ` C ) ^ i ) ) )
123	122	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( ( abs ` C ) ^ i ) ) = ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) )
124	120, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) = ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) )
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( 2 x. N ) ^ i ) ) ) = ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
126	117, 119, 125	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. ( abs ` ( B - A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
127	113, 126	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) - ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
128	79, 127	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` C ) ^ i ) x. ( abs ` ( ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. B ) ) - ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ i ) x. A ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
129	69, 128	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
130	1, 26, 45, 129	fsumle 14531	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
131	30	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) e. CC )
132	124, 118	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) e. CC )
133	1, 131, 132	fsummulc2 14516	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) = sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
134	133	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( abs ` ( B - A ) ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) = ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
135	130, 134	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
136	25, 27, 42, 43, 135	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( F ` B ) ` i ) - ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
137	22, 136	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  32516