knoppndvlem14 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem14 32516

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 7-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem14.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem14.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem14.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem14.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem14.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem14.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem14.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem14.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem14.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem14	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐴,𝑖 𝐵,𝑖,𝑛,𝑦 𝑥,𝐵 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝑖,𝐽,𝑛,𝑦 𝑖,𝑁,𝑛,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝜑,𝑖,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛) 𝐽(𝑥) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑖,𝑛)

**Proof of Theorem knoppndvlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem14.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem14.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem14.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
5		knoppndvlem14.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		knoppndvlem14.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
8		knoppndvlem14.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	knoppndvlem1 32503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
11	4, 10	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		knoppndvlem14.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
13	12	knoppndvlem3 32505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
14	13	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15	1, 2, 11, 14, 5	knoppndvlem5 32507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
16		knoppndvlem14.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
18	5, 7, 8	knoppndvlem1 32503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
19	17, 18	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	1, 2, 19, 14, 5	knoppndvlem5 32507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
21	15, 20	resubcld 10458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 10068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
23	22	abscld 14175	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
24	11, 19	resubcld 10458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
26	25	abscld 14175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
27		fzfid 12772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐽 − 1)) ∈ Fin)
28		2re 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
30		nnre 11027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
32	29, 31	remulcld 10070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
33	14	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33	abscld 14175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 10070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37		elfznn0 12433	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
38	37	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
39	36, 38	reexpcld 13025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
40	27, 39	fsumrecl 14465	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) ∈ ℝ)
41	26, 40	remulcld 10070	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ∈ ℝ)
42	34, 6	reexpcld 13025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
43		2ne0 11113	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
45	42, 29, 44	redivcld 10853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
46		1red 10055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47	35, 46	resubcld 10458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
48		0red 10041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49		0lt1 10550	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
51		knoppndvlem14.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
52	12, 5, 51	knoppndvlem12 32514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
53	52	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
54	48, 46, 47, 50, 53	lttrd 10198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
55	48, 54	jca 554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
56		ltne 10134	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
57	55, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
58	46, 47, 57	redivcld 10853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
59	45, 58	remulcld 10070	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
60	1, 2, 19, 11, 12, 6, 5	knoppndvlem11 32513	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)))
61	4, 17	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
62	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
63	31	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
65	5, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
66	48, 46, 31, 50, 65	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
67	48, 66	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
68		ltne 10134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
70	62, 63, 44, 69	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
71	7	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
72	32, 70, 71	reexpclzd 13034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
73	72, 29, 44	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
74	73	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
75	9	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
76	8	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
77	74, 75, 76	subdid 10486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
78	77	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
79		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
80	76, 79	pncan2d 10394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
82	74	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
83	78, 81, 82	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
84	61, 83	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
85	84	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
86	72	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
87	86, 62, 44	absdivd 14194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)))
88	62, 63	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	88, 70, 71	3jca 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
90		absexpz 14045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0 ∧ -𝐽 ∈ ℤ) → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽))
92	62, 63	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = ((abs‘2) · (abs‘𝑁)))
93		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
94	28, 93	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
95		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘2) = 2)
98	48, 31, 66	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
99	31, 98	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
100	97, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘2) · (abs‘𝑁)) = (2 · 𝑁))
101	92, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2 · 𝑁)) = (2 · 𝑁))
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(2 · 𝑁))↑-𝐽) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
103	91, 102	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
104	103, 97	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / (abs‘2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
105	87, 104	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
106	85, 105	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
107	35	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	52	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
109	107, 108, 6	geoser 14599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))))
110	107, 6	expcld 13008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℂ)
111	108	necomd 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
112	79, 110, 79, 107, 111	div2subd 10851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / (1 − ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
113	109, 112	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖) = (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
114	106, 113	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
115	113, 40	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
116	35, 6	reexpcld 13025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
117	116, 47, 57	redivcld 10853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
118		2rp 11837	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
119	118	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
120	119	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
121	29, 31, 120, 66	mulgt0d 10192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
122	32, 71, 121	3jca 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
123		expgt0 12893	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
125	48, 72, 124	ltled 10185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
126	72, 119, 125	divge0d 11912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
127	116, 46	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ∈ ℝ)
128	47, 54	elrpd 11869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ⁺)
129	116	lem1d 10957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽))
130	127, 116, 128, 129	lediv1dd 11930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
131	115, 117, 73, 126, 130	lemul2ad 10964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
132	47	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℂ)
133	110, 132, 57	divrecd 10804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
134	133	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
135	58	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
136	74, 110, 135	mulassd 10063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
137	136	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
138	86, 110, 62, 44	div23d 10838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)))
139	138	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2))
140	88, 70	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
141	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
142	12, 5, 51	knoppndvlem13 32515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
143	33, 142	absne0d 14186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
144	141, 143	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0))
145	140, 144, 7	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
146		mulexpz 12900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ ((abs‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐶) ≠ 0) ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
149	88, 6	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
150	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℂ)
151	86, 149, 150	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))))
152	151	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((abs‘𝐶)↑𝐽))) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
153	140, 71, 7	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)))
154		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (-𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
156	155	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)))
157	71	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℂ)
158	6	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = (𝐽 + -𝐽))
160	158	negidd 10382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + -𝐽) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-𝐽 + 𝐽) = 0)
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(-𝐽 + 𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑0))
163	88	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
164	156, 162, 163	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) = 1)
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)))
166	150	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
167	165, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · ((2 · 𝑁)↑𝐽)) · ((abs‘𝐶)↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
168	148, 152, 167	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) / 2) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
170	139, 169	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
171	170	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽)) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
172	134, 137, 171	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
173	131, 172	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) − 1) / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
174	114, 173	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))(((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑖)) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
175	23, 41, 59, 60, 174	letrd 10194	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℝ⁺crp 11832 (,)cioo 12175 ...cfz 12326 ⌊cfl 12591 ↑cexp 12860 abscabs 13974 Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417

This theorem is referenced by: knoppndvlem15 32517

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