Theorem lgsdir2lem1 25050

Description: Lemma for lgsdir2 25055. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem1	⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		8re 11105	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ
3		8pos 11121	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
4	2, 3	elrpii 11835	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		0le1 10551	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6		1lt8 11221	. . . 4 ⊢ 1 < 8
7		modid 12695	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
8	1, 4, 5, 6, 7	mp4an 709	. . 3 ⊢ (1 mod 8) = 1
9		8cn 11106	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10043	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 8) = 8
11	10	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	negcli 10349	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
14	9, 12	negsubi 10359	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -1) = (8 − 1)
15		7cn 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
16	12, 15	addcomi 10227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 7) = (7 + 1)
17		df-8 11085	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 = (7 + 1)
18	16, 17	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 7) = 8
19	9, 12, 15, 18	subaddrii 10370	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 1) = 7
20	14, 19	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -1) = 7
21	9, 13, 20	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 8) = 7
22	11, 21	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (-1 + (1 · 8)) = 7
23	22	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
24	1	renegcli 10342	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
25		1z 11407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		modcyc 12705	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
27	24, 4, 25, 26	mp3an 1424	. . . 4 ⊢ ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28		7re 11103	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
29		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
30		7pos 11120	. . . . . 6 ⊢ 0 < 7
31	29, 28, 30	ltleii 10160	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 7
32		7lt8 11215	. . . . 5 ⊢ 7 < 8
33		modid 12695	. . . . 5 ⊢ (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
34	28, 4, 31, 32, 33	mp4an 709	. . . 4 ⊢ (7 mod 8) = 7
35	23, 27, 34	3eqtr3i 2652	. . 3 ⊢ (-1 mod 8) = 7
36	8, 35	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
37		3re 11094	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
38		3pos 11114	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
39	29, 37, 38	ltleii 10160	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 3
40		3lt8 11219	. . . 4 ⊢ 3 < 8
41		modid 12695	. . . 4 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
42	37, 4, 39, 40, 41	mp4an 709	. . 3 ⊢ (3 mod 8) = 3
43	10	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
44		3cn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
45	44	negcli 10349	. . . . . . 7 ⊢ -3 ∈ ℂ
46	9, 44	negsubi 10359	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + -3) = (8 − 3)
47		5cn 11100	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
48		5p3e8 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 3) = 8
49	47, 44, 48	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 5) = 8
50	9, 44, 47, 49	subaddrii 10370	. . . . . . . 8 ⊢ (8 − 3) = 5
51	46, 50	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (8 + -3) = 5
52	9, 45, 51	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (-3 + 8) = 5
53	43, 52	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (-3 + (1 · 8)) = 5
54	53	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
55	37	renegcli 10342	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℝ
56		modcyc 12705	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
57	55, 4, 25, 56	mp3an 1424	. . . 4 ⊢ ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
58		5re 11099	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
59		5pos 11118	. . . . . 6 ⊢ 0 < 5
60	29, 58, 59	ltleii 10160	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 5
61		5lt8 11217	. . . . 5 ⊢ 5 < 8
62		modid 12695	. . . . 5 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
63	58, 4, 60, 61, 62	mp4an 709	. . . 4 ⊢ (5 mod 8) = 5
64	54, 57, 63	3eqtr3i 2652	. . 3 ⊢ (-3 mod 8) = 5
65	42, 64	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
66	36, 65	pm3.2i 471	1 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267  3c3 11071  5c5 11073  7c7 11075  8c8 11076  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832   mod cmo 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  25053  lgsdir2lem5  25054