irrapxlem5 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem irrapxlem5 37390

Description: Lemma for irrapx1 37392. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
irrapxlem5	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵

Proof of Theorem irrapxlem5 Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
2	1	rpreccld 11882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
3	2	rprege0d 11879	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)))
4		flge0nn0 12621	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐵)) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
5		nn0p1nn 11332	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
7		irrapxlem4 37389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
8	6, 7	syldan 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
9		simplrr 801	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℕ)
10		nnq 11801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℚ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℚ)
12		simplrl 800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
13		nnq 11801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℚ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℚ)
15	12	nnne0d 11065	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≠ 0)
16		qdivcl 11809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ)
18	9	nnrpd 11870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ⁺)
19	12	nnrpd 11870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
20	18, 19	rpdivcld 11889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ⁺)
21	20	rpgt0d 11875	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑏 / 𝑎))
22	12	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	12	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
25	22, 24	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
26	25	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 = (abs‘𝑎))
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
28	12	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
29		qre 11793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℝ)
31		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
32	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	30, 32	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℝ)
34	33	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴) ∈ ℂ)
35	28, 34	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
36	27, 35	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))))
37		qcn 11802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
38	17, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑏 / 𝑎) ∈ ℂ)
39		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	28, 38, 40	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)))
42	9	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℂ)
43	42, 28, 15	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) = 𝑏)
44	28, 40	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑎))
45	43, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 · (𝑏 / 𝑎)) − (𝑎 · 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
46	41, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) = (𝑏 − (𝐴 · 𝑎)))
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑎 · ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))))
48	32, 22	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
49	48	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
50	42, 49	abssubd 14192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘(𝑏 − (𝐴 · 𝑎))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
51	36, 47, 50	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) = (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)))
52	9	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℝ)
53	48, 52	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℝ)
54	53	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝐴 · 𝑎) − 𝑏) ∈ ℂ)
55	54	abscld 14175	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) ∈ ℝ)
56		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
57	56	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
58	56	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (1 / 𝐵))
60	57, 59, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (⌊‘(1 / 𝐵)) ∈ ℕ₀)
61	60, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℕ)
62	61	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ⁺)
63	62, 19	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ⁺)
64	63	rprecred 11883	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ∈ ℝ)
65	56	rpred 11872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ)
66	22, 65	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝐵) ∈ ℝ)
67		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)))
68	58	rprecred 11883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ∈ ℝ)
69	61	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
70	69, 22	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ∈ ℝ)
71		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 𝐵) ∈ ℝ → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
72	57, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1))
73		max2 12018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
74	22, 69, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
75	57, 69, 70, 72, 74	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
76	58, 63	lerecd 11891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((1 / 𝐵) ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵))))
77	75, 76	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / (1 / 𝐵)))
78	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
79	56	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝐵 ≠ 0)
80	78, 79	recrecd 10798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
81	78	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
82	80, 81	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) = (1 · 𝐵))
83	12	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ≤ 𝑎)
84		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 1 ∈ ℝ)
85	84, 22, 56	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵)))
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 · 𝐵) ≤ (𝑎 · 𝐵))
87	82, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
88	64, 68, 66, 77, 87	letrd 10194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (𝑎 · 𝐵))
89	55, 64, 66, 67, 88	ltletrd 10197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (𝑎 · 𝐵))
90	51, 89	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵))
91	34	abscld 14175	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ)
92	12	nngt0d 11064	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < 𝑎)
93		ltmul2 10874	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
94	91, 65, 22, 92, 93	syl112anc 1330	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · 𝐵)))
95	90, 94	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵)
96	22, 22	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
97	22, 15	msqgt0d 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < (𝑎 · 𝑎))
98	97	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ≠ 0)
99	96, 98	rereccld 10852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ)
100		qdencl 15449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
101	17, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ)
102	101	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ)
103	102, 102	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ)
104	101	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≠ 0)
105	102, 104	msqgt0d 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
106	105	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≠ 0)
107	103, 106	rereccld 10852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∈ ℝ)
108	22, 15	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
109		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1) ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
110	22, 69, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))
111	19, 63	lerecd 11891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 ≤ if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎) ↔ (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎)))
112	110, 111	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) ≤ (1 / 𝑎))
113	55, 64, 108, 67, 112	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / 𝑎))
114	28, 28, 28, 15, 15	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)))
115	28, 15	dividd 10799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / 𝑎) = 1)
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((𝑎 / 𝑎) / 𝑎) = (1 / 𝑎))
117	96	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℂ)
118	28, 117, 98	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 / (𝑎 · 𝑎)) = (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
119	114, 116, 118	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))) = (1 / 𝑎))
120	113, 51, 119	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎))))
121		ltmul2 10874	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
122	91, 99, 22, 92, 121	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)) ↔ (𝑎 · (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))) < (𝑎 · (1 / (𝑎 · 𝑎)))))
123	120, 122	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / (𝑎 · 𝑎)))
124	9	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 𝑏 ∈ ℤ)
125		divdenle 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
126	124, 12, 125	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎)
127	101	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℕ₀)
128	127	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
129		le2msq 10923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎)) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
130	102, 128, 22, 24, 129	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ≤ 𝑎 ↔ ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
131	126, 130	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎))
132		lerec 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))) ∧ ((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑎 · 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
133	103, 105, 96, 97, 132	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))) ≤ (𝑎 · 𝑎) ↔ (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))))
134	131, 133	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / (𝑎 · 𝑎)) ≤ (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
135	91, 99, 107, 123, 134	ltletrd 10197	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
136	101	nncnd 11036	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ)
137		2nn0 11309	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
138		expneg 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (((denom‘(𝑏 / 𝑎)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
139	136, 137, 138	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)))
140	136	sqvald 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎))))
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑2)) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
142	139, 141	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2) = (1 / ((denom‘(𝑏 / 𝑎)) · (denom‘(𝑏 / 𝑎)))))
143	135, 142	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
144		breq2 4657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑏 / 𝑎)))
145		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑏 / 𝑎) − 𝐴))
146	145	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)))
147	146	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵))
148		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → (denom‘𝑥) = (denom‘(𝑏 / 𝑎)))
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((denom‘𝑥)↑-2) = ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))
150	146, 149	breq12d 4666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2) ↔ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2)))
151	144, 147, 150	3anbi123d 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑏 / 𝑎) → ((0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)) ↔ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))))
152	151	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 / 𝑎) ∈ ℚ ∧ (0 < (𝑏 / 𝑎) ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘((𝑏 / 𝑎) − 𝐴)) < ((denom‘(𝑏 / 𝑎))↑-2))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
153	17, 21, 95, 143, 152	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))
154	153	ex 450	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → ((abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
155	154	rexlimdvva 3038	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ (abs‘((𝐴 · 𝑎) − 𝑏)) < (1 / if(𝑎 ≤ ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), ((⌊‘(1 / 𝐵)) + 1), 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2))))
156	8, 155	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℚ (0 < 𝑥 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < ((denom‘𝑥)↑-2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∃wrex 2913 ifcif 4086 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℚcq 11788 ℝ⁺crp 11832 ⌊cfl 12591 ↑cexp 12860 abscabs 13974 denomcdenom 15442

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-numer 15443 df-denom 15444

This theorem is referenced by: irrapxlem6 37391

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