Theorem numclwlk1lem2f1 27227

Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)

Assertion

Ref	Expression
numclwlk1lem2f1	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑢,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑢,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝑉   𝑢,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2f1

Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4		numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	numclwlk1lem2f 27225	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6	1, 2, 3, 4	numclwlk1lem2fv 27226	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
7	6	ad2antrl 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
8	1, 2, 3, 4	numclwlk1lem2fv 27226	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
9	8	ad2antll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇‘𝑎) = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
10	7, 9	eqeq12d 2637	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) ↔ ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩))
11		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ V
12		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
13	11, 12	opth 4945	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
14		uzuzle23 11729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
15	3	numclwwlkovgel 27221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
16	14, 15	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
17	1	clwwlknbp 26885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
18	17	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
19		3simpc 1060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))
20	18, 19	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
21	16, 20	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
22	21	3adant1 1079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
23	3	numclwwlkovgel 27221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
24	14, 23	sylan2 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
25	1	clwwlknbp 26885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁))
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁))
27		3simpc 1060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)) → ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))
28	26, 27	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
29	24, 28	syl6bi 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))))
30	29	3adant1 1079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))))
31		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
33		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ≥‘3)))
36	35	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ≥‘3)))
37		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)))
38		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
39		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
41		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (#‘𝑝) ∈ ℝ)
42	38, 40, 41	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ))
43		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 3
44		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → ((1 < 3 ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝)))
45	44	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → (1 < 3 → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝))))
46	42, 43, 45	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝)))
47	46	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
48	47	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
49	37, 48	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑝) ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (#‘𝑝))
50	36, 49	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (#‘𝑝)))
51	50	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
52	51	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
53	52	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
55	54	impcom 446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → 1 < (#‘𝑝))
56		2swrd2eqwrdeq 13696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑎) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)))))
57	32, 34, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑎) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)))))
58		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) → (#‘𝑝) = (#‘𝑎))
59	58	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑎) = 𝑁 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑎)))
60	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑎)))
61	60	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑎)))
62	61	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑎)))
63	62	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑎))
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑎))
65	64	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)) ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑎) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)))))
66		3anan12 1051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎))))
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)))))
68		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
69		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
70	69	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)))
72	71	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
73	72	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
74	68, 73	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)))
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
76	75	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
80		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
82		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎‘0) = (𝑎‘(𝑁 − 2)) → ((𝑎‘0) = 𝑋 ↔ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
83	82	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0) → ((𝑎‘0) = 𝑋 ↔ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
84	83	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
86	81, 85	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
87	86	ad4ant24 1298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
88	79, 87	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)))
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)))
90	89	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)))))
91	80	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
93	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
94	92, 93	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
95	94	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
97		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)))
98		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 1) = (𝑁 − 1))
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
100	97, 99	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
102		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘((#‘𝑎) − 1)))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘((#‘𝑎) − 1)))
104		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = (#‘𝑎) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑎) − 1))
105	104	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑎) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑎) − 1))
106	105	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑎) = 𝑁 → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘((#‘𝑎) − 1)))
107	106	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑎) = 𝑁 → (( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘((#‘𝑎) − 1))))
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) → (( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘((#‘𝑎) − 1))))
109	103, 108	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → ( lastS ‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
111	101, 110	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
113	96, 112	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))))
114	67, 90, 113	3bitr2d 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑎)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))))
115	57, 65, 114	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))))
116	115	exbiri 652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
117	22, 30, 116	syl2and 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
118	117	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎))
119	13, 118	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑎))
120	10, 119	sylbid 230	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
121	120	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
122		dff13 6512	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇‘𝑝) = (𝑇‘𝑎) → 𝑝 = 𝑎)))
123	5, 121, 122	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-s2 13593  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1o  27229