Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nfv 1843 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑟(𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) |
2 | | nfcv 2764 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑟𝐴 |
3 | | nfra2 2946 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
4 | 2, 3 | nfral 2945 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑟∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
5 | 4 | nfn 1784 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑟 ¬
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
6 | 1, 5 | nfan 1828 |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑟((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
7 | | tospos 29658 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset) |
8 | | posprs 16949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Preset
) |
9 | | ordtconn.j |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤
) |
10 | | ordtconn.l |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ≤ =
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
11 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(le‘𝐾) ∈
V |
12 | 11 | inex1 4799 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((le‘𝐾) ∩
(𝐵 × 𝐵)) ∈ V |
13 | 10, 12 | eqeltri 2697 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ≤ ∈
V |
14 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ dom ≤ = dom
≤ |
15 | 14 | ordttopon 20997 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ( ≤ ∈ V
→ (ordTop‘ ≤ ) ∈
(TopOn‘dom ≤ )) |
16 | 13, 15 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(ordTop‘ ≤ ) ∈
(TopOn‘dom ≤ ) |
17 | | ordtconn.x |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
18 | 17, 10 | prsdm 29960 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ∈ Preset → dom ≤ = 𝐵) |
19 | 18 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈ Preset →
(TopOn‘dom ≤ ) = (TopOn‘𝐵)) |
20 | 16, 19 | syl5eleq 2707 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ Preset →
(ordTop‘ ≤ ) ∈
(TopOn‘𝐵)) |
21 | 9, 20 | syl5eqel 2705 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Preset → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
22 | 7, 8, 21 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
23 | 22 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
24 | 23 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) |
25 | | simpllr 799 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵) |
26 | 25 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵) |
27 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Toset) |
28 | 27, 7, 8 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Preset ) |
29 | | snex 4908 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ {𝐵} ∈ V |
30 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(Base‘𝐾)
∈ V |
31 | 17, 30 | eqeltri 2697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝐵 ∈ V |
32 | 31 | mptex 6486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∈ V |
33 | 32 | rnex 7100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∈ V |
34 | 31 | mptex 6486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ∈ V |
35 | 34 | rnex 7100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ∈ V |
36 | 33, 35 | unex 6956 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) ∈ V |
37 | 29, 36 | unex 6956 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ∈ V |
38 | | ssfii 8325 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ∈ V → ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ (fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))))) |
39 | 37, 38 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ (fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) |
40 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(fi‘({𝐵} ∪
(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ∈ V |
41 | | bastg 20770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((fi‘({𝐵}
∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ∈ V → (fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ⊆ (topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))))) |
42 | 40, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(fi‘({𝐵} ∪
(ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))) ⊆ (topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))))) |
43 | 39, 42 | sstri 3612 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ (topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))))) |
44 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
45 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
46 | 17, 10, 44, 45 | ordtprsval 29964 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐾 ∈ Preset →
(ordTop‘ ≤ ) =
(topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))))) |
47 | 9, 46 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ∈ Preset → 𝐽 =
(topGen‘(fi‘({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})))))) |
48 | 43, 47 | syl5sseqr 3654 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈ Preset → ({𝐵} ∪ (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}))) ⊆ 𝐽) |
49 | 48 | unssbd 3791 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ Preset → (ran
(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) ⊆ 𝐽) |
50 | 28, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) ⊆ 𝐽) |
51 | 50 | unssbd 3791 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ⊆ 𝐽) |
52 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑟 ≤ 𝑧 ↔ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
53 | 52 | notbid 308 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
54 | 53 | cbvrabv 3199 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦} |
55 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
56 | 55 | notbid 308 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (¬ 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦)) |
57 | 56 | rabbidv 3189 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑟 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦}) |
58 | 57 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑟 → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦} ↔ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦})) |
59 | 58 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑦}) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
60 | 54, 59 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
61 | 31 | rabex 4813 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ V |
62 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
63 | 62 | elrnmpt 5372 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ V → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) |
64 | 61, 63 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦}) |
65 | 60, 64 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) |
66 | 65 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})) |
67 | 51, 66 | sseldd 3604 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ 𝐽) |
68 | 67 | ad2antrr 762 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∈ 𝐽) |
69 | 50 | unssad 3790 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ⊆ 𝐽) |
70 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑟 ↔ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
71 | 70 | notbid 308 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
72 | 71 | cbvrabv 3199 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟} |
73 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
74 | 73 | notbid 308 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑟 → (¬ 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
75 | 74 | rabbidv 3189 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑟 → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟}) |
76 | 75 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑟 → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥} ↔ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟})) |
77 | 76 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟}) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
78 | 72, 77 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
79 | 31 | rabex 4813 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ V |
80 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
81 | 80 | elrnmpt 5372 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ V → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})) |
82 | 79, 81 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥}) |
83 | 78, 82 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})) |
84 | 83 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})) |
85 | 69, 84 | sseldd 3604 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ 𝐽) |
86 | 85 | ad2antrr 762 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∈ 𝐽) |
87 | | simpll 790 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) |
88 | | simpr 477 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
89 | 87, 88 | jca 554 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
90 | | simplrl 800 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) |
91 | | ssel 3597 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)) |
92 | 91 | ancrd 577 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))) |
93 | 92 | anim1d 588 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥))) |
94 | 93 | impl 650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
95 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
96 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑟 ≤ 𝑧 ↔ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
97 | 96 | notbid 308 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
98 | 97 | elrab 3363 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
99 | 98 | anbi1i 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
100 | | an32 839 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
101 | 95, 99, 100 | 3bitri 286 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
102 | 94, 101 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴)) |
103 | | ne0i 3921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
104 | 102, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
105 | 25, 104 | sylanl1 682 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
106 | 105 | r19.29an 3077 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
107 | 89, 90, 106 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
108 | | simplrr 801 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) |
109 | | ssel 3597 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐵)) |
110 | 109 | ancrd 577 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))) |
111 | 110 | anim1d 588 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟))) |
112 | 111 | impl 650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
113 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
114 | 71 | elrab 3363 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
115 | 114 | anbi1i 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
116 | | an32 839 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
117 | 113, 115,
116 | 3bitri 286 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
118 | 112, 117 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → 𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴)) |
119 | | ne0i 3921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
121 | 25, 120 | sylanl1 682 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
122 | 121 | r19.29an 3077 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
123 | 89, 108, 122 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ∩ 𝐴) ≠ ∅) |
124 | 17, 10 | trleile 29666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑟 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
125 | | oran 517 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑟 ≤ 𝑧 ∨ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ ¬ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
126 | 124, 125 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
127 | 126 | 3expa 1265 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
128 | 127 | nrexdv 3001 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
129 | | rabid 3116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧)) |
130 | | rabid 3116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
131 | 129, 130 | anbi12i 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
132 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
133 | | anandi 871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
134 | 131, 132,
133 | 3bitr4i 292 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
135 | 134 | exbii 1774 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
136 | | nfrab1 3122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} |
137 | | nfrab1 3122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟} |
138 | 136, 137 | nfin 3820 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑧({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) |
139 | 138 | n0f 3927 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
140 | | df-rex 2918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑧 ∈
𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
141 | 135, 139,
140 | 3bitr4i 292 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
142 | 141 | necon1bbii 2843 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
∃𝑧 ∈ 𝐵 (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
143 | 128, 142 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
144 | 143 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
145 | 144 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = ∅) |
146 | 145 | ineq1d 3813 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴)) |
147 | | 0in 3969 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∅
∩ 𝐴) =
∅ |
148 | 146, 147 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ∩ 𝐴) = ∅) |
149 | 148 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ∩ 𝐴) = ∅) |
150 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
151 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
152 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑟 ∈ V |
153 | 152 | snss 4316 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 ↔ {𝑟} ⊆ 𝐵) |
154 | | eldif 3584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
155 | 152 | snss 4316 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ {𝑟} ⊆ (𝐵 ∖ 𝐴)) |
156 | 154, 155 | bitr3i 266 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ {𝑟} ⊆ (𝐵 ∖ 𝐴)) |
157 | | ssconb 3743 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (({𝑟} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ({𝑟} ⊆ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
158 | 156, 157 | syl5bb 272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (({𝑟} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
159 | 153, 158 | sylanb 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
160 | 159 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
161 | 160 | anass1rs 849 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
162 | 161 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
163 | 150, 151,
162 | mpbi2and 956 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑟})) |
164 | 7 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
165 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧(𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) |
166 | 136, 137 | nfun 3769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) |
167 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑧(𝐵 ∖ {𝑟}) |
168 | | ianor 509 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬
(𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) |
169 | 17, 10 | posrasymb 29657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 = 𝑧)) |
170 | | equcom 1945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑟 = 𝑧 ↔ 𝑧 = 𝑟) |
171 | 169, 170 | syl6bb 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 = 𝑟)) |
172 | 171 | necon3bbid 2831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑟 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 ≠ 𝑟)) |
173 | 168, 172 | syl5bbr 274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 ≠ 𝑟)) |
174 | 173 | 3expia 1267 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → ((¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟) ↔ 𝑧 ≠ 𝑟))) |
175 | 174 | pm5.32d 671 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 𝑟))) |
176 | 129, 130 | orbi12i 543 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∨ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∨ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
177 | | elun 3753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∨ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
178 | | andi 911 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧) ∨ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))) |
179 | 176, 177,
178 | 3bitr4ri 293 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (¬ 𝑟 ≤ 𝑧 ∨ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟)) ↔ 𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
180 | | eldifsn 4317 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ {𝑟}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 𝑟)) |
181 | 180 | bicomi 214 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ 𝑟) ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ {𝑟})) |
182 | 175, 179,
181 | 3bitr3g 302 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ {𝑟}))) |
183 | 165, 166,
167, 182 | eqrd 3622 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = (𝐵 ∖ {𝑟})) |
184 | 164, 150,
183 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟}) = (𝐵 ∖ {𝑟})) |
185 | 163, 184 | sseqtr4d 3642 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
186 | 185 | adantlr 751 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ({𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑟 ≤ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟})) |
187 | 24, 26, 68, 86, 107, 123, 149, 186 | nconnsubb 21226 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
188 | 187 | anasss 679 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
189 | 188 | adantllr 755 |
. . . 4
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
190 | | rexanali 2998 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
191 | 190 | rexbii 3041 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
192 | | rexcom 3099 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
193 | | rexnal 2995 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ¬ ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
194 | 191, 192,
193 | 3bitr3i 290 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
195 | 194 | rexbii 3041 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
196 | | rexcom 3099 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
197 | | rexnal 2995 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
198 | 195, 196,
197 | 3bitr3i 290 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) |
199 | | r19.41v 3089 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
200 | 199 | rexbii 3041 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
201 | | r19.41v 3089 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
202 | | reeanv 3107 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦)) |
203 | 202 | anbi1i 731 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
204 | 200, 201,
203 | 3bitri 286 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
205 | 204 | rexbii 3041 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
206 | 198, 205 | bitr3i 266 |
. . . . . 6
⊢ (¬
∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
207 | 27 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset) |
208 | 25 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
209 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
210 | 17, 10 | trleile 29666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
211 | 207, 208,
209, 210 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
212 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
213 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
214 | | nelne2 2891 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑟) |
215 | 212, 213,
214 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑟) |
216 | 164 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
217 | 17, 10 | posrasymb 29657 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑟)) |
218 | 217 | necon3bbid 2831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 ≠ 𝑟)) |
219 | 216, 208,
209, 218 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 ≠ 𝑟)) |
220 | 215, 219 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
221 | 211, 220 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥))) |
222 | | pm5.17 932 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ≤ 𝑟 ∨ 𝑟 ≤ 𝑥) ∧ ¬ (𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
223 | 221, 222 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
224 | 223 | rexbidva 3049 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥)) |
225 | 27 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset) |
226 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
227 | 25 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
228 | 17, 10 | trleile 29666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
229 | 225, 226,
227, 228 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
230 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
231 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) |
232 | | nelne2 2891 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑟) |
233 | 230, 231,
232 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑟) |
234 | 233 | necomd 2849 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑟 ≠ 𝑦) |
235 | 164 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
236 | 17, 10 | posrasymb 29657 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 = 𝑦)) |
237 | 236 | necon3bbid 2831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 ≠ 𝑦)) |
238 | 235, 226,
227, 237 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟) ↔ 𝑟 ≠ 𝑦)) |
239 | 234, 238 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
240 | 229, 239 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟))) |
241 | | pm5.17 932 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑟 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ (𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑟)) ↔ (𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
242 | 240, 241 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐾 ∈ Toset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
243 | 242 | rexbidva 3049 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)) |
244 | 224, 243 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟))) |
245 | 244 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑟 ∈ 𝐴 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟)))) |
246 | 245 | pm5.32rd 672 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴))) |
247 | 246 | rexbidva 3049 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑟 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑟 ≤ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴))) |
248 | 206, 247 | syl5bb 272 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴))) |
249 | 248 | biimpa 501 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑟 ≤ 𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 ≤ 𝑟) ∧ ¬ 𝑟 ∈ 𝐴)) |
250 | 6, 189, 249 | r19.29af 3076 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn) |
251 | 250 | ex 450 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)) |
252 | 251 | con4d 114 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 ((𝑥 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ 𝑦) → 𝑟 ∈ 𝐴))) |