pockthlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pockthlem 15609

Description: Lemma for pockthg 15610. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
pockthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11	⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pcdvds 15568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
5	2	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		pockthg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		dvdsmul1 15003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
10		pockthg.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
11	10	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
12	2, 6	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 10287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
17	11, 16	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
18	9, 17	breqtrrd 4681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
19		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
21		pockthlem.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
23	20, 22	nnexpcld 13030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
24	23	nnzd 11481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
25		1z 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
27	12, 26	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
28		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
30	10, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
31		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
32	25, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
33	32, 26	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
34	33	nnzd 11481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
35		dvdstr 15018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
36	24, 5, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)))
37	4, 18, 36	mp2and 715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
38	23	nnne0d 11065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
39		dvdsval2 14986	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
40	24, 38, 34, 39	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
41	37, 40	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
42		pockthlem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
43		prmnn 15388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
45		pockthlem.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
46	44	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
47		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
49	48	simpld 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
50	48	simprd 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
51		pockthlem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
52	45, 46	gcdcld 15230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
54		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
55	54	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
56	30, 55	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
57		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
60	59	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
61		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
62	53, 46, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁))
63	50, 51, 62	mp2and 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
64	59	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
68		dvdslegcd 15226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
69	53, 45, 60, 67, 68	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
70	49, 63, 69	mp2and 715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
71		pockthlem.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
73	33	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
74		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
75	45, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
76		modgcd 15253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
77	75, 59, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
78		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
79	25, 60, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
80		gcd1 15249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
81	60, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
82	79, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
83	72, 77, 82	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
84		rpexp 15432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
85	45, 60, 33, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
87	70, 86	breqtrd 4679	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
88	44	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
89		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
90	89	necon3ai 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
92		gcdn0cl 15224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
93	45, 46, 91, 92	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
94		nnle1eq1 11048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
95	93, 94	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
96	87, 95	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
97		odzcl 15498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
98	44, 45, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
99	98	nnzd 11481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
100	59	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
101	58	simprd 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
102		1mod 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
103	100, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
104	71, 103	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
105		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
106		moddvds 14991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
107	59, 75, 105, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
108	104, 107	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
109		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
110	75, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
111		dvdstr 15018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
112	46, 60, 110, 111	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)) → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
113	51, 108, 112	mp2and 715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
114		odzdvds 15500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
115	44, 45, 96, 73, 114	syl31anc 1329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
116	113, 115	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
117	33	nncnd 11036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
118	23	nncnd 11036	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
119	117, 118, 38	divcan1d 10802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
120	116, 119	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
121		nprmdvds1 15418	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
122	42, 121	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
123	20	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
124		iddvdsexp 15005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
125	123, 21, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
126		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
127	123, 24, 34, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1)) → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1)))
128	125, 37, 127	mp2and 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
129	20	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
130		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
131	123, 129, 34, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
132	128, 131	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
133	73	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
134	33	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
135	20	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
136	20	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
137		ge0div 10890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
138	134, 135, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
139	133, 138	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
140		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
141	132, 139, 140	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀)
142		zexpcl 12875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
143	45, 141, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
144		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
146		dvdsgcd 15261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
147	46, 145, 60, 146	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
148	51, 147	mpan2d 710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
149		odzdvds 15500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
150	44, 45, 96, 141, 149	syl31anc 1329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
151	20	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
152	21	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
153	151, 129, 152	expm1d 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
154	153	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
155	134, 23	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
156	155	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
157	156, 118, 151, 129	divassd 10836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
158	119	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
159	154, 157, 158	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
160	159	breq2d 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
161	150, 160	bitr4d 271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
162		pockthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
163	162	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
164	148, 161, 163	3imtr3d 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
165	122, 164	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
166		prmpwdvds 15608	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
167	41, 99, 1, 21, 120, 165, 166	syl222anc 1342	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
168		odzphi 15501	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
169	44, 45, 96, 168	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
170		phiprm 15482	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
171	42, 170	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
172	169, 171	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
173		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
174	42, 173	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
175	174, 55	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
176		eluzp1m1 11711	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
177	25, 175, 176	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
178	177, 26	syl6eleqr 2712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
179	178	nnzd 11481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
180		dvdstr 15018	. . . 4 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
181	24, 99, 179, 180	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1)) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
182	167, 172, 181	mp2and 715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
183		pcdvdsb 15573	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
184	1, 179, 22, 183	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
185	182, 184	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 mod cmo 12668 ↑cexp 12860 ∥ cdvds 14983 gcd cgcd 15216 ℙcprime 15385 od_ℤcodz 15468 ϕcphi 15469 pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-odz 15470 df-phi 15471 df-pc 15542

This theorem is referenced by: pockthg 15610

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