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Theorem pockthlem 15609

Description: Lemma for pockthg 15610. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthlem.5
pockthlem.6
pockthlem.7
pockthlem.8
pockthlem.9
pockthlem.10
pockthlem.11

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . . 7
2		pockthg.1	. . . . . . 7
3		pcdvds 15568	. . . . . . 7 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . 6
5	2	nnzd 11481	. . . . . . . 8
6		pockthg.2	. . . . . . . . 9
7	6	nnzd 11481	. . . . . . . 8
8		dvdsmul1 15003	. . . . . . . 8 $/\$
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7
10		pockthg.4	. . . . . . . . 9
11	10	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
12	2, 6	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10
13	12	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
14		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9
15		pncan 10287	. . . . . . . . 9 $/\$
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . . 8
17	11, 16	eqtrd 2656	. . . . . . 7
18	9, 17	breqtrrd 4681	. . . . . 6
19		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9
21		pockthlem.8	. . . . . . . . . 10
22	21	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9
23	20, 22	nnexpcld 13030	. . . . . . . 8
24	23	nnzd 11481	. . . . . . 7
25		1z 11407	. . . . . . . . . 10
26		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13
27	12, 26	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12
28		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . 12
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11
30	10, 29	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10
31		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . 10 $/\$
32	25, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . . . 9
33	32, 26	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8
34	33	nnzd 11481	. . . . . . 7
35		dvdstr 15018	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
36	24, 5, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$
37	4, 18, 36	mp2and 715	. . . . 5
38	23	nnne0d 11065	. . . . . 6
39		dvdsval2 14986	. . . . . 6 $/\$ $/\$
40	24, 38, 34, 39	syl3anc 1326	. . . . 5
41	37, 40	mpbid 222	. . . 4
42		pockthlem.5	. . . . . . 7
43		prmnn 15388	. . . . . . 7
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6
45		pockthlem.9	. . . . . 6
46	44	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11
47		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	48	simpld 475	. . . . . . . . 9
50	48	simprd 479	. . . . . . . . . 10
51		pockthlem.6	. . . . . . . . . 10
52	45, 46	gcdcld 15230	. . . . . . . . . . . 12
53	52	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11
54		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	30, 55	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14
57		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12
60	59	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11
61		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
62	53, 46, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	50, 51, 62	mp2and 715	. . . . . . . . 9
64	59	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
66	65	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . 11 $/\$
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
68		dvdslegcd 15226	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	53, 45, 60, 67, 68	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 $/\$
70	49, 63, 69	mp2and 715	. . . . . . . 8
71		pockthlem.10	. . . . . . . . . . 11
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
73	33	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12
74		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	45, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
76		modgcd 15253	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	75, 59, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
78		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
79	25, 60, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
80		gcd1 15249	. . . . . . . . . . . 12
81	60, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11
82	79, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
83	72, 77, 82	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9
84		rpexp 15432	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
85	45, 60, 33, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . 8
87	70, 86	breqtrd 4679	. . . . . . 7
88	44	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10
89		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
90	89	necon3ai 2819	. . . . . . . . . 10 $/\$
91	88, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
92		gcdn0cl 15224	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
93	45, 46, 91, 92	syl21anc 1325	. . . . . . . 8
94		nnle1eq1 11048	. . . . . . . 8
95	93, 94	syl 17	. . . . . . 7
96	87, 95	mpbid 222	. . . . . 6
97		odzcl 15498	. . . . . 6 $/\$ $/\$
98	44, 45, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . 5
99	98	nnzd 11481	. . . 4
100	59	nnred 11035	. . . . . . . . . 10
101	58	simprd 479	. . . . . . . . . 10
102		1mod 12702	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	100, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
104	71, 103	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8
105		1zzd 11408	. . . . . . . . 9
106		moddvds 14991	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
107	59, 75, 105, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . 8
108	104, 107	mpbid 222	. . . . . . 7
109		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9
110	75, 109	syl 17	. . . . . . . 8
111		dvdstr 15018	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
112	46, 60, 110, 111	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$
113	51, 108, 112	mp2and 715	. . . . . 6
114		odzdvds 15500	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
115	44, 45, 96, 73, 114	syl31anc 1329	. . . . . 6
116	113, 115	mpbid 222	. . . . 5
117	33	nncnd 11036	. . . . . 6
118	23	nncnd 11036	. . . . . 6
119	117, 118, 38	divcan1d 10802	. . . . 5
120	116, 119	breqtrrd 4681	. . . 4
121		nprmdvds1 15418	. . . . . 6
122	42, 121	syl 17	. . . . 5
123	20	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14
124		iddvdsexp 15005	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	123, 21, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
126		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
127	123, 24, 34, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128	125, 37, 127	mp2and 715	. . . . . . . . . . . 12
129	20	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13
130		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
131	123, 129, 34, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
132	128, 131	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
133	73	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12
134	33	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13
135	20	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13
136	20	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . 13
137		ge0div 10890	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
138	134, 135, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
139	133, 138	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
140		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	132, 139, 140	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10
142		zexpcl 12875	. . . . . . . . . 10 $/\$
143	45, 141, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
144		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . 8
146		dvdsgcd 15261	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
147	46, 145, 60, 146	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$
148	51, 147	mpan2d 710	. . . . . 6
149		odzdvds 15500	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
150	44, 45, 96, 141, 149	syl31anc 1329	. . . . . . 7
151	20	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
152	21	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11
153	151, 129, 152	expm1d 13018	. . . . . . . . . 10
154	153	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
155	134, 23	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11
156	155	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
157	156, 118, 151, 129	divassd 10836	. . . . . . . . 9
158	119	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
159	154, 157, 158	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8
160	159	breq2d 4665	. . . . . . 7
161	150, 160	bitr4d 271	. . . . . 6
162		pockthlem.11	. . . . . . 7
163	162	breq2d 4665	. . . . . 6
164	148, 161, 163	3imtr3d 282	. . . . 5
165	122, 164	mtod 189	. . . 4
166		prmpwdvds 15608	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	41, 99, 1, 21, 120, 165, 166	syl222anc 1342	. . 3
168		odzphi 15501	. . . . 5 $/\$ $/\$
169	44, 45, 96, 168	syl3anc 1326	. . . 4
170		phiprm 15482	. . . . 5
171	42, 170	syl 17	. . . 4
172	169, 171	breqtrd 4679	. . 3
173		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9
174	42, 173	syl 17	. . . . . . . 8
175	174, 55	syl6eleq 2711	. . . . . . 7
176		eluzp1m1 11711	. . . . . . 7 $/\$
177	25, 175, 176	sylancr 695	. . . . . 6
178	177, 26	syl6eleqr 2712	. . . . 5
179	178	nnzd 11481	. . . 4
180		dvdstr 15018	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
181	24, 99, 179, 180	syl3anc 1326	. . 3 $/\$
182	167, 172, 181	mp2and 715	. 2
183		pcdvdsb 15573	. . 3 $/\$ $/\$
184	1, 179, 22, 183	syl3anc 1326	. 2
185	182, 184	mpbird 247	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cmo 12668

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

codz 15468

cphi 15469

cpc 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-odz 15470 df-phi 15471 df-pc 15542

This theorem is referenced by: pockthg 15610

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