Theorem cxpcn3 24489

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 9993	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3599	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
6		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
7		ref 13852	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
8	7	fdmi 6052	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℜ = ℂ
9	6, 8	sseqtri 3637	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
10	5, 9	eqsstri 3635	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
11	10	sseli 3599	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
12		cxpcl 24420	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ)
13	4, 11, 12	syl2an 494	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ)
14	13	rgen2 2975	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ
15		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))
16	15	fmpt2 7237	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥↑𝑐𝑦) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
17	14, 16	mpbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
19	18	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
21		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
22		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
23	20, 21, 22	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
24	23	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
25	24, 3	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
26		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
27	19, 25, 26	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+)
28	27	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ = ∪ (𝐽 ↾t ℝ+)
29	28	restid 16094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+) → ((𝐽 ↾t ℝ+) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+))
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t ℝ+) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
31	30	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ↾t ℝ+)
32	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+))
33		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ+
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ℝ+ ⊆ ℝ+)
35		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
36	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
37	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝐷 ⊆ ℂ)
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
39	18, 38	cxpcn2 24487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
41	31, 32, 34, 35, 36, 37, 40	cnmpt2res 21480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) Cn 𝐽))
42		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑢))
43	42	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 𝑢 ∈ ℝ)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℝ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ)
46		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 0 < 𝑢)
47	45, 46	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑢 ∈ ℝ+)
48		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐷)
49		opelxp 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷) ↔ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐷))
50	47, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷))
51		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
52	19, 10, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
53	35, 52	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)
54		txtopon 21394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t ℝ+) ∈ (TopOn‘ℝ+) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷)))
55	27, 53, 54	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(ℝ+ × 𝐷))
56	55	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ × 𝐷) = ∪ ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
57	56	cncnpi 21082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℝ+ × 𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
58	41, 50, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
59		ssid 3624	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐷
60		resmpt2 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐷) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)))
61	24, 59, 60	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))
62		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
63		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
64	19, 3, 63	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
65	62, 64	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞))
66		ioorp 12251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
67		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
68	66, 67	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,))
69		retop 22565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
70		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
71		restopnb 20979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) ∧ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+)) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
72	69, 70, 71	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ ℝ+ ⊆ ℝ+) → (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))))
73	68, 24, 33, 72	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
74	68, 73	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
76	18, 75	rerest 22607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
77	1, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
78	62, 77	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
79	74, 78	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ∈ 𝐾
80		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷 ∈ 𝐿)
81	53, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐿
82		txrest 21434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+ ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝐿)) → ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷)))
83	65, 53, 79, 81, 82	mp4an 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷))
84	62	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ+) = ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+)
85		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+))
86	19, 24, 70, 85	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t (0[,)+∞)) ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
87	84, 86	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ+) = (𝐽 ↾t ℝ+)
88	53	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = ∪ 𝐿
89	88	restid 16094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷) → (𝐿 ↾t 𝐷) = 𝐿)
90	53, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ↾t 𝐷) = 𝐿
91	87, 90	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ↾t ℝ+) ×t (𝐿 ↾t 𝐷)) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
92	83, 91	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) = ((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿)
93	92	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽) = (((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)
94	93	fveq1i 6192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) = ((((𝐽 ↾t ℝ+) ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
95	58, 61, 94	3eltr4g 2718	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
96		txtopon 21394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)))
97	65, 53, 96	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷))
98	97	topontopi 20720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top)
100		xpss1 5228	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
101	24, 100	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷))
102		txopn 21405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝐷)) ∧ (ℝ+ ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝐿)) → (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿))
103	65, 53, 79, 81, 102	mp4an 709	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)
104		isopn3i 20886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ∈ (𝐾 ×t 𝐿)) → ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷))
105	98, 103, 104	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) = (ℝ+ × 𝐷)
106	50, 105	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)))
107	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
108	65	topontopi 20720	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ Top
109	53	topontopi 20720	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ Top
110	65	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) = ∪ 𝐾
111	108, 109, 110, 88	txunii 21396	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,)+∞) × 𝐷) = ∪ (𝐾 ×t 𝐿)
112	19	toponunii 20721	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
113	111, 112	cnprest 21093	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ×t 𝐿) ∈ Top ∧ (ℝ+ × 𝐷) ⊆ ((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ((int‘(𝐾 ×t 𝐿))‘(ℝ+ × 𝐷)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
114	99, 101, 106, 107, 113	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ↾ (ℝ+ × 𝐷)) ∈ ((((𝐾 ×t 𝐿) ↾t (ℝ+ × 𝐷)) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
115	95, 114	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 < 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
116	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ)
117		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) = (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2)))) = if((if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2) ≤ (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))), (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2), (𝑒↑𝑐(1 / (if((ℜ‘𝑣) ≤ 1, (ℜ‘𝑣), 1) / 2))))
119	5, 18, 62, 35, 117, 118	cxpcn3lem 24488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
120	119	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
121		0e0icopnf 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
123		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
124	122, 123	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (0(abs ∘ − )𝑎))
125		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℂ
126	3, 123	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ ℂ)
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
128	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
129	125, 126, 128	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(abs ∘ − )𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎)))
130		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -𝑎 = (0 − 𝑎)
131	130	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs‘-𝑎) = (abs‘(0 − 𝑎))
132	126	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘-𝑎) = (abs‘𝑎))
133	131, 132	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘(0 − 𝑎)) = (abs‘𝑎))
134	124, 129, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) = (abs‘𝑎))
135	134	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑑))
136		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝐷)
137		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
138	136, 137	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (𝑣(abs ∘ − )𝑏))
139	10, 136	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑣 ∈ ℂ)
140	10, 137	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ ℂ)
141	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
142	139, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣(abs ∘ − )𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
143	138, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) = (abs‘(𝑣 − 𝑏)))
144	143	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑))
145	135, 144	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑)))
146		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥↑𝑐𝑦) = (0↑𝑐𝑣))
147		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0↑𝑐𝑣) ∈ V
148	146, 15, 147	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
149	121, 136, 148	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = (0↑𝑐𝑣))
150	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 ↔ 𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
151		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
152		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)))
153	7, 151, 152	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
154	150, 153	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+))
155	154	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)
156	154	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑣) ∈ ℝ+)
157	156	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑣) ≠ 0)
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = (ℜ‘0))
159		re0 13892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℜ‘0) = 0
160	158, 159	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 = 0 → (ℜ‘𝑣) = 0)
161	160	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ‘𝑣) ≠ 0 → 𝑣 ≠ 0)
162	157, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ≠ 0)
163	155, 162	0cxpd 24456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑣) = 0)
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0↑𝑐𝑣) = 0)
165	149, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣) = 0)
166		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥↑𝑐𝑦) = (𝑎↑𝑐𝑏))
167		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ V
168	166, 15, 167	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
169	168	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
170	165, 169	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) = (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)))
171	126, 140	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℂ)
172	127	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))))
173	125, 171, 172	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (0(abs ∘ − )(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))))
174		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(𝑎↑𝑐𝑏) = (0 − (𝑎↑𝑐𝑏))
175	174	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘-(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏)))
176	171	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘-(𝑎↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
177	175, 176	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (abs‘(0 − (𝑎↑𝑐𝑏))) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
178	170, 173, 177	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
179	178	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒))
180	145, 179	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐷 ∧ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
181	180	2ralbidva 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
182	181	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
183	182	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝑒)))
184	120, 183	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))
185		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
187		xmetres2 22166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
188	186, 3, 187	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)))
189		xmetres2 22166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
190	186, 10, 189	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
191	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 0 ∈ (0[,)+∞))
192		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ 𝐷)
193		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
194	18	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
195		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
196	193, 194, 195	metrest 22329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
197	185, 3, 196	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t (0[,)+∞)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
198	62, 197	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
199		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
200		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
201	199, 194, 200	metrest 22329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
202	185, 10, 201	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
203	35, 202	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
204	198, 203, 194	txmetcnp 22352	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ (∞Met‘(0[,)+∞)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (0 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
205	188, 190, 186, 191, 192, 204	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((0((abs ∘ − ) ↾ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))𝑎) < 𝑑 ∧ (𝑣((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑏) < 𝑑) → ((0(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑣)(abs ∘ − )(𝑎(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦))𝑏)) < 𝑒))))
206	116, 184, 205	mpbir2and 957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
207	206	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩))
208		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → 0 = 𝑢)
209	208	opeq1d 4408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → ⟨0, 𝑣⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩)
210	209	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨0, 𝑣⟩) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
211	207, 210	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) ∧ 0 = 𝑢) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
212	42	simprbi 480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑢)
213	212	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 0 ≤ 𝑢)
214		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
215		leloe 10124	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
216	214, 44, 215	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0 ≤ 𝑢 ↔ (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢)))
217	213, 216	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (0 < 𝑢 ∨ 0 = 𝑢))
218	115, 211, 217	mpjaodan 827	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
219	218	rgen2 2975	. . 3 ⊢ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
220		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) = (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
221	220	eleq2d 2687	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)))
222	221	ralxp 5263	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ (0[,)+∞)∀𝑣 ∈ 𝐷 (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
223	219, 222	mpbir 221	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)
224		cncnp 21084	. . 3 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘((0[,)+∞) × 𝐷)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧))))
225	97, 19, 224	mp2an 708	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)):((0[,)+∞) × 𝐷)⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ((0[,)+∞) × 𝐷)(𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐿) CnP 𝐽)‘𝑧)))
226	17, 223, 225	mpbir2an 955	1 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞), 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  ℜcre 13837  abscabs 13974   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  topGenctg 16098  ∞Metcxmt 19731  MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715  intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   ×_t ctx 21363  ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  resqrtcn  24490