sdclem1 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem sdclem1 33539

Description: Lemma for sdc 33540. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sdc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
sdc.2	⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
sdc.3	⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
sdc.4	⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
sdc.5	⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
sdc.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sdc.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sdc.8	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
sdc.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
sdc.10	⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
sdc.11	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})

**Assertion**
Ref	Expression
sdclem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Distinct variable groups: 𝑓,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥,𝐴 ℎ,𝐽,𝑘,𝑤,𝑥 𝑓,𝑀,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜒,𝑔 𝑛,𝐹,𝑤,𝑥 𝜓,𝑓,ℎ,𝑘,𝑥 𝜎,𝑓,𝑔,𝑛,𝑥 𝜑,𝑛,𝑤,𝑥 𝜃,𝑛,𝑤,𝑥 ℎ,𝑉 𝜏,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑘,𝑛,𝑤,𝑥 𝜑,𝑔,ℎ,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑓) 𝜓(𝑤,𝑔,𝑛) 𝜒(𝑥,𝑤,𝑓,ℎ,𝑘,𝑛) 𝜃(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝜏(𝑓,𝑔) 𝜎(𝑤,ℎ,𝑘) 𝐹(𝑓,𝑔,ℎ,𝑘) 𝐽(𝑓,𝑔,𝑛) 𝑉(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sdclem1 Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdc.8	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
2		sdc.10	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)}
3		sdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
4		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘𝑀) ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
6		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴)
7		sdc.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀...𝑛) ∈ V
9		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀...𝑛) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ↔ 𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
11	6, 10	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → 𝑔 ∈ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛))))
12	11	abssdv 3676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)))
13		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ∈ V
14		ssexg 4804	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ∧ (𝐴 ↑_𝑚 (𝑀...𝑛)) ∈ V) → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
15	12, 13, 14	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
16	15	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
17		abrexex2g 7144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 {𝑔 ∣ (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V) → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
18	5, 16, 17	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ∈ V)
19	2, 18	syl5eqel 2705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐽 ∈ V)
21		sdc.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		uzid 11702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
25	24, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑀 ∈ 𝑍)
26		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
27		fzsn 12383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
29	28	feq2d 6031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
30	26, 29	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
31		simprr 796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝜏)
32		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
33	32	feq2d 6031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴))
34		sdc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜏))
35	33, 34	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)))
36	35	rspcev 3309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (𝑔:(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
37	25, 30, 31, 36	syl12anc 1324	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
38	2	abeq2i 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓))
39	37, 38	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝑔 ∈ 𝐽)
40	3	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
42		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴)
43		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → 𝜎)
44		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℎ ∈ V
45		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
46		sdc.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 = ℎ ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝜓 ↔ 𝜎)))
48	44, 45, 47	sbc2iedv 3506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ([ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓 ↔ 𝜎))
50	43, 49	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
51		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛 ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴
52		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛ℎ
53		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛[(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
54	52, 53	nfsbc 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑛[ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓
55	51, 54	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑛(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...(𝑘 + 1)))
57	56	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴))
58		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ [(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
59	58	sbcbidv 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ([ℎ / 𝑔]𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓))
60	57, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)))
61	55, 60	rspce 3304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔][(𝑘 + 1) / 𝑛]𝜓)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
62	41, 42, 50, 61	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
63	2	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)})
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔𝑍
65		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑔 ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴
66		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑔[ℎ / 𝑔]𝜓
67	65, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
68	64, 67	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)
69		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
70		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝜓 ↔ [ℎ / 𝑔]𝜓))
71	69, 70	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
72	71	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓)))
73	68, 44, 72	elabf 3349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
74	63, 73	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ [ℎ / 𝑔]𝜓))
75	62, 74	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)) → ℎ ∈ 𝐽)
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
77	76	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) → ℎ ∈ 𝐽))
78	77	abssdv 3676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽)
80	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
81		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ V → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ↔ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ⊆ 𝐽))
83	79, 82	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽)
84		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
85	84	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ↔ 𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴))
86		sdc.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
87	85, 86	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)))
88	87	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃))
89		sdc.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
90	89	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
91		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
92	90, 91	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
93	88, 92	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
94	93	ss2abdv 3675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
95	2, 94	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
96	95	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
97		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
98		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ↔ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘))))
99	98	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → ((ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
100	99	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
101	100	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎) ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
102	97, 101	elab 3350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑔 ∣ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
103	96, 102	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
104		abn0 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅ ↔ ∃ℎ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎))
105	103, 104	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
106	105	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅)
107		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ ({ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ 𝒫 𝐽 ∧ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ≠ ∅))
108	83, 106, 107	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
109	108	adantrl 752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑤 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
110	109	ralrimivva 2971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
111		sdc.11	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
112	111	fmpt2 7237	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑍 ∀𝑥 ∈ 𝐽 {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)} ∈ (𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
113	110, 112	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
114	21	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
116	115, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
117	116	xpeq1d 5138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽) = (𝑍 × 𝐽))
118	117	feq2d 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})))
119	118	biimpar 502	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
120	113, 119	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅}))
121		0z 11388	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
122	121	elimel 4150	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
123		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
124	122, 123	axdc4uz 12783	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑔 ∈ 𝐽 ∧ 𝐹:((ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) × 𝐽)⟶(𝒫 𝐽 ∖ {∅})) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
125	20, 39, 120, 124	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
126	22	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) = 𝑀)
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (ℤ_≥‘𝑀))
128	127, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑍)
129	128	feq2d 6031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶𝐽))
130	88	abbii 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑔 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ 𝜓)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
131	2, 130	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
132		feq3 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 = {𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} → (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗:𝑍⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
134	129, 133	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ↔ 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}))
135	126	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝑗‘𝑀))
136	135	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ↔ (𝑗‘𝑀) = 𝑔))
137	128	raleqdv 3144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
138	134, 136, 137	3anbi123d 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) ↔ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))))
139		sdc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑀...𝑛)) → (𝜓 ↔ 𝜒))
140	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
141	21	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
142	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑔(𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
143		simpll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝜑)
144	143, 89	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃) → ∃ℎ(ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑔 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)))
145		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏))
146		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
147		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
148		nfre1 3005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)
149	148	nfab 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
150	146, 147, 149	nff 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)}
151		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑀) = 𝑔
152		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
153	131, 149	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘𝐽
154		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)
155	154	nfab 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘{ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)}
156	147, 153, 155	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑤 ∈ 𝑍, 𝑥 ∈ 𝐽 ↦ {ℎ ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (ℎ:(𝑀...(𝑘 + 1))⟶𝐴 ∧ 𝑥 = (ℎ ↾ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝜎)})
157	111, 156	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
158		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘𝑚)
159	152, 157, 158	nfov 6676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
160	159	nfel2 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
161	147, 160	nfral 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))
162	150, 151, 161	nf3an 1831	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
163	145, 162	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))))
164		simpr1 1067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)})
165	164, 133	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑗:𝑍⟶𝐽)
166	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → 𝑔:{𝑀}⟶𝐴)
167		simpr2 1068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀) = 𝑔)
168	141, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
169	167, 168	feq12d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ((𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴 ↔ 𝑔:{𝑀}⟶𝐴))
170	166, 169	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → (𝑗‘𝑀):(𝑀...𝑀)⟶𝐴)
171		simpr3 1069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑚 + 1) = (𝑤 + 1))
173	172	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘(𝑚 + 1)) = (𝑗‘(𝑤 + 1)))
174		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → 𝑚 = 𝑤)
175		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑗‘𝑚) = (𝑗‘𝑤))
176	174, 175	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) = (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
177	173, 176	eleq12d 2695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → ((𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ↔ (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤))))
178	177	rspccva 3308	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
179	171, 178	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → (𝑗‘(𝑤 + 1)) ∈ (𝑤𝐹(𝑗‘𝑤)))
180	3, 139, 34, 86, 46, 140, 141, 142, 144, 2, 111, 163, 165, 170, 179	sdclem2 33538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) ∧ (𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚)))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
181	180	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:𝑍⟶{𝑔 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔:(𝑀...𝑘)⟶𝐴 ∧ 𝜃)} ∧ (𝑗‘𝑀) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 (𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
182	138, 181	sylbid 230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ((𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
183	182	exlimdv 1861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → (∃𝑗(𝑗:(ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟶𝐽 ∧ (𝑗‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = 𝑔 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ_≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))(𝑗‘(𝑚 + 1)) ∈ (𝑚𝐹(𝑗‘𝑚))) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒)))
184	125, 183	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔:{𝑀}⟶𝐴 ∧ 𝜏)) → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))
185	1, 184	exlimddv 1863	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑍⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝜒))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∃wex 1704 ∈ wcel 1990 {cab 2608 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 Vcvv 3200 [wsbc 3435 ∖ cdif 3571 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 ifcif 4086 𝒫 cpw 4158 {csn 4177 × cxp 5112 ↾ cres 5116 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ↦ cmpt2 6652 ↑_𝑚 cmap 7857 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-dc 9268 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327

This theorem is referenced by: sdc 33540

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