Theorem swrdccat2 13458

Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 13359	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		swrdcl 13419	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
3		wrdf 13310	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)))⟶𝐵)
4		ffn 6045	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)))⟶𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))))
6		lencl 13324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 11722	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
11		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
13		lencl 13324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
15		uzaddcl 11744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
16	12, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
17		elfzuzb 12336	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆))))
18	9, 16, 17	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
19	7, 14	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℕ0)
20	19, 8	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0))
21	19	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
22		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
24		elfzuzb 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
25	20, 23, 24	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
26		ccatlen 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
28	25, 27	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
29		swrdlen 13423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))
30	1, 18, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))
31	7	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
32	14	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
33	31, 32	pncan2d 10394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)) = (#‘𝑇))
34	30, 33	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (#‘𝑇))
35	34	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))) = (0..^(#‘𝑇)))
36	35	fneq2d 5982	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘𝑇))))
37	5, 36	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘𝑇)))
38		wrdf 13310	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
39	38	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
40		ffn 6045	. . 3 ⊢ (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
41	39, 40	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
42	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
43	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
44	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
45	33	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))) = (0..^(#‘𝑇)))
46	45	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))))
47	46	biimpar 502	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))))
48		swrdfv 13424	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))))
49	42, 43, 44, 47, 48	syl31anc 1329	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))))
50		ccatval3 13363	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
51	50	3expa 1265	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
52	49, 51	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇‘𝑘))
53	37, 41, 52	eqfnfvd 6314	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  ccatopth  13470