Theorem zlmodzxzequap 42288

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m	⊢ + = (+g‘𝑍)
zlmodzxzequap.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequap	⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 11091	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulneg1i 10476	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 2) = -(3 · 2)
4	3	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
5	2, 1	mulcli 10045	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) ∈ ℂ
6	1, 2	mulcli 10045	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
7		negsub 10329	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
8	1, 2	mulcomi 10046	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
9	8	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
10	5	subidi 10352	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
11	9, 10	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
12	7, 11	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
13	5, 6, 12	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
14	4, 13	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
15	14	opeq2i 4406	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16		4cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	1, 16	mulneg1i 10476	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 4) = -(3 · 4)
18	17	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19		6cn 11102	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
20	2, 19	mulcli 10045	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) ∈ ℂ
21	1, 16	mulcli 10045	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 4) ∈ ℂ
22	20, 21	negsubi 10359	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23		2t6m3t4e0 42126	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
24	22, 23	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
25	18, 24	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
26	25	opeq2i 4406	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
27	15, 26	preq12i 4273	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	28	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30		2z 11409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
31		3z 11410	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
32		6nn 11189	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
33	32	nnzi 11401	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
34		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35		zlmodzxzequap.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
36	34, 35	zlmodzxzscm 42135	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
37	30, 31, 33, 36	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
38	29, 37	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
40	39	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41		znegcl 11412	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
42	31, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -3 ∈ ℤ
43		4z 11411	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
44	34, 35	zlmodzxzscm 42135	. . . . . 6 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
45	42, 30, 43, 44	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
46	40, 45	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
47	38, 46	oveq12i 6662	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48		zmulcl 11426	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
49	30, 31, 48	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
50		zmulcl 11426	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
51	42, 30, 50	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (-3 · 2) ∈ ℤ
52		zmulcl 11426	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
53	30, 33, 52	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
54		zmulcl 11426	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
55	42, 43, 54	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (-3 · 4) ∈ ℤ
56		zlmodzxzequap.m	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑍)
57	34, 56	zlmodzxzadd 42136	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
58	49, 51, 53, 55, 57	mp4an 709	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
59	47, 58	eqtri 2644	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60		zlmodzxzequap.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
61	27, 59, 60	3eqtr4i 2654	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  6c6 11074  ℤcz 11377  +_gcplusg 15941   ·_𝑠 cvsca 15945  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  42291