Theorem zlmodzxznm 42286

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 15406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℙ
2		2prm 15405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		ztprmneprm 42125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
4	1, 2, 3	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 3
8		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
10	9	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
11	4, 10	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
13	11, 12	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
14	13	olcd 408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 3) ∈ V
17	15, 16	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
20	14, 19	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21		0ne1 11088	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
23	22	orcd 407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
25	17, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
26	23, 25	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
27	20, 26	jca 554	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
28	27	orcd 407	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
31	29, 30	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 2⟩ ∈ V
34		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 4⟩ ∈ V
35	33, 34	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
37	22	orcd 407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38		opthneg 4950	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
39	17, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
40	37, 39	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41		prnebg 4389	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
42	41	bicomd 213	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
44	28, 43	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
46	45	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐴) = (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47		3z 11410	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
48		6nn 11189	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
49	48	nnzi 11401	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
52	50, 51	zlmodzxzscm 42135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
53	47, 49, 52	mp3an23 1416	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
54	46, 53	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
57	44, 54, 56	3netr4d 2871	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵)
58		ztprmneprm 42125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
59	2, 1, 58	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
61	7, 60	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
62	59, 61	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
64	62, 63	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
65	64	olcd 408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 · 2) ∈ V
67	15, 66	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
69	67, 68	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
70	65, 69	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
71	22	orcd 407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72		opthneg 4950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
73	67, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
74	71, 73	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
75	70, 74	jca 554	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
76	75	orcd 407	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
79	77, 78	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
80	79	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 3⟩ ∈ V
82		opex 4932	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 6⟩ ∈ V
83	81, 82	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
85	22	orcd 407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86		opthneg 4950	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
87	67, 86	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
88	85, 87	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89		prnebg 4389	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
90	89	bicomd 213	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
92	76, 91	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
93	55	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∙ 𝐵) = (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94		2z 11409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		4z 11411	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
96	50, 51	zlmodzxzscm 42135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
97	94, 95, 96	mp3an23 1416	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
98	93, 97	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
99	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
100	92, 98, 99	3netr4d 2871	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)
101	57, 100	jca 554	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴))
102	101	rgen 2922	1 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 ∙ 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 ∙ 𝐵) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  6c6 11074  ℤcz 11377  ℙcprime 15385   ·_𝑠 cvsca 15945  -_gcsg 17424  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  42294  ldepsnlinclem2  42295