Theorem zringlpirlem3 19834

Description: Lemma for zringlpir 19837. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
zringlpirlem.g	⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
zringlpirlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem zringlpirlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringlpirlem.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
2		zringbas 19824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
4	2, 3	lidlss 19210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
6		zringlpirlem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	5, 6	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
8	7	zred 11482	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9		inss2 3834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
10		zringlpirlem.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < )
11		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	9, 11	sseqtri 3637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1)
13		zringlpirlem.n0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
14	1, 13	zringlpirlem1 19832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
15		infssuzcl 11772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
16	12, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
17	10, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
18	9, 17	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ)
19	18	nnrpd 11870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
20		modlt 12679	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
21	8, 19, 20	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) < 𝐺)
22	7, 18	zmodcld 12691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 11352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℝ)
24	18	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
25	23, 24	ltnled 10184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) < 𝐺 ↔ ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺)))
26	21, 25	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
27	7	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	18	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
29	8, 18	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝐺) ∈ ℝ)
30	29	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
32	28, 31	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))) ∈ ℂ)
33	27, 32	negsubd 10398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
34	30	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ)
35	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℂ)
36	35, 28	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
37	28, 31	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · -(⌊‘(𝑋 / 𝐺))) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
38	36, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) = -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺))))
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) = (𝑋 + -(𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
40		modval 12670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
41	8, 19, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 − (𝐺 · (⌊‘(𝑋 / 𝐺)))))
42	33, 39, 41	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)))
43		zringring 19821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Ring
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
45	1, 13, 10	zringlpirlem2 19833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐼)
46		zringmulr 19827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
47	3, 2, 46	lidlmcl 19217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ 𝐼)) → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
48	44, 1, 34, 45, 47	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)
49		zringplusg 19825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℤring)
50	3, 49	lidlacl 19213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺) ∈ 𝐼)) → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
51	44, 1, 6, 48, 50	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (-(⌊‘(𝑋 / 𝐺)) · 𝐺)) ∈ 𝐼)
52	42, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
53	52	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ 𝐼)
54		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
55	53, 54	elind 3798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
56		infssuzle 11771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ (𝐼 ∩ ℕ)) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
57	12, 55, 56	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → inf((𝐼 ∩ ℕ), ℝ, < ) ≤ (𝑋 mod 𝐺))
58	10, 57	syl5eqbr 4688	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ) → 𝐺 ≤ (𝑋 mod 𝐺))
59	26, 58	mtand 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ)
60		elnn0 11294	. . . 4 ⊢ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
61	22, 60	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
62		orel1 397	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ → (((𝑋 mod 𝐺) ∈ ℕ ∨ (𝑋 mod 𝐺) = 0) → (𝑋 mod 𝐺) = 0))
63	59, 61, 62	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 mod 𝐺) = 0)
64		dvdsval3 14987	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
65	18, 7, 64	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 mod 𝐺) = 0))
66	63, 65	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ⌊cfl 12591   mod cmo 12668   ∥ cdvds 14983  Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  ℤ_ringzring 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-cnfld 19747  df-zring 19819

This theorem is referenced by:  zringlpir  19837