Theorem acsfiindd 17177

Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsfiindd.1	|- ( ph -> A e. (ACS ` X ) )
acsfiindd.2	|- N = (mrCls ` A )
acsfiindd.3	|- I = (mrInd ` A )
acsfiindd.4	|- ( ph -> S C_ X )

Assertion

Ref	Expression
acsfiindd	|- ( ph -> ( S e. I <-> ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) )

Proof of Theorem acsfiindd

Dummy variables x s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsfiindd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. (ACS ` X ) )
2	1	acsmred 16317	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
3	2	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ S e. I ) /\ s e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
4		acsfiindd.2	. . . . 5 |- N = (mrCls ` A )
5		acsfiindd.3	. . . . 5 |- I = (mrInd ` A )
6		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ S e. I ) /\ s e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> S e. I )
7		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( ~P S i^i Fin ) C_ ~P S
8		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. I ) /\ s e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> s e. ( ~P S i^i Fin ) )
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ S e. I ) /\ s e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> s e. ~P S )
10	9	elpwid 4170	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ S e. I ) /\ s e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> s C_ S )
11	3, 4, 5, 6, 10	mrissmrid 16301	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ S e. I ) /\ s e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> s e. I )
12	11	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. I ) -> A. s e. ( ~P S i^i Fin ) s e. I )
13		dfss3 3592	. . 3 |- ( ( ~P S i^i Fin ) C_ I <-> A. s e. ( ~P S i^i Fin ) s e. I )
14	12, 13	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ S e. I ) -> ( ~P S i^i Fin ) C_ I )
15	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> A e. (Moore ` X ) )
16		acsfiindd.4	. . . 4 |- ( ph -> S C_ X )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> S C_ X )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) )
19		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) <-> ( t C_ ( S \ { x } ) /\ t e. Fin ) )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> ( t C_ ( S \ { x } ) /\ t e. Fin ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> t C_ ( S \ { x } ) )
22	21	difss2d 3740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> t C_ S )
23		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> x e. S )
24	23	snssd 4340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> { x } C_ S )
25	22, 24	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> ( t u. { x } ) C_ S )
26	20	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> t e. Fin )
27		snfi 8038	. . . . . . . . . . . 12 |- { x } e. Fin
28		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ { x } e. Fin ) -> ( t u. { x } ) e. Fin )
29	26, 27, 28	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> ( t u. { x } ) e. Fin )
30		elfpw 8268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t u. { x } ) e. ( ~P S i^i Fin ) <-> ( ( t u. { x } ) C_ S /\ ( t u. { x } ) e. Fin ) )
31	25, 29, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> ( t u. { x } ) e. ( ~P S i^i Fin ) )
32	2	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) /\ s e. I ) -> A e. (Moore ` X ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) /\ s e. I ) -> s e. I )
34		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> x e. S )
35		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. S -> x e. { x } )
36		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { x } -> x e. ( t u. { x } ) )
37	34, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> x e. ( t u. { x } ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> s = ( t u. { x } ) )
39	37, 38	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> x e. s )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) /\ s e. I ) -> x e. s )
41	4, 5, 32, 33, 40	ismri2dad 16297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) /\ s e. I ) -> -. x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) )
42	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
43	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> t C_ ( S \ { x } ) )
44		neldifsnd 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> -. x e. ( S \ { x } ) )
45	43, 44	ssneldd 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> -. x e. t )
46		difsnb 4337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. t <-> ( t \ { x } ) = t )
47	45, 46	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( t \ { x } ) = t )
48		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- t C_ ( t u. { x } )
49	48, 38	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> t C_ s )
50	49	ssdifd 3746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( t \ { x } ) C_ ( s \ { x } ) )
51	47, 50	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> t C_ ( s \ { x } ) )
52	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( t u. { x } ) C_ S )
53	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> S C_ X )
54	52, 53	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( t u. { x } ) C_ X )
55	38, 54	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> s C_ X )
56	55	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( s \ { x } ) C_ X )
57	42, 4, 51, 56	mrcssd 16284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( N ` t ) C_ ( N ` ( s \ { x } ) ) )
58	57	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( x e. ( N ` t ) -> x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) /\ s e. I ) -> ( x e. ( N ` t ) -> x e. ( N ` ( s \ { x } ) ) ) )
60	41, 59	mtod 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) /\ s e. I ) -> -. x e. ( N ` t ) )
61	60	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) /\ s = ( t u. { x } ) ) -> ( s e. I -> -. x e. ( N ` t ) ) )
62	31, 61	rspcimdv 3310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> ( A. s e. ( ~P S i^i Fin ) s e. I -> -. x e. ( N ` t ) ) )
63	13, 62	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) ) -> ( ( ~P S i^i Fin ) C_ I -> -. x e. ( N ` t ) ) )
64	63	impancom 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> ( t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) -> -. x e. ( N ` t ) ) )
65	64	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> A. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) -. x e. ( N ` t ) )
66	16	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S \ { x } ) C_ X )
67	1, 4, 66	acsficl2d 17176	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) <-> E. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) x e. ( N ` t ) ) )
68	67	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) <-> -. E. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) x e. ( N ` t ) ) )
69		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) -. x e. ( N ` t ) <-> -. E. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) x e. ( N ` t ) )
70	68, 69	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) <-> A. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) -. x e. ( N ` t ) ) )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> ( -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) <-> A. t e. ( ~P ( S \ { x } ) i^i Fin ) -. x e. ( N ` t ) ) )
72	65, 71	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
73	72	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) /\ x e. S ) -> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
74	73	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) )
75	4, 5, 15, 17, 74	ismri2dd 16294	. 2 |- ( ( ph /\ ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) -> S e. I )
76	14, 75	impbida 877	1 |- ( ph -> ( S e. I <-> ( ~P S i^i Fin ) C_ I ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888   Fincfn 7955  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  mrIndcmri 16244  ACScacs 16245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-mri 16248  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

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