Theorem acsmapd 17178

Description: In an algebraic closure system, if T is contained in the closure of S, there is a map f from T into the set of finite subsets of S such that the closure of U. ran f contains T. This is proven by applying acsficl2d 17176 to each element of T. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmapd.1	|- ( ph -> A e. (ACS ` X ) )
acsmapd.2	|- N = (mrCls ` A )
acsmapd.3	|- ( ph -> S C_ X )
acsmapd.4	|- ( ph -> T C_ ( N ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
acsmapd	|- ( ph -> E. f ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ T C_ ( N ` U. ran f ) ) )

Distinct variable groups:   T, f   ph, f   S, f   f, N

Allowed substitution hints:   A( f)   X( f)

Proof of Theorem acsmapd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmapd.4	. . . 4 |- ( ph -> T C_ ( N ` S ) )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- ( N ` S ) e. _V
3	2	ssex 4802	. . . 4 |- ( T C_ ( N ` S ) -> T e. _V )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
5	1	sseld 3602	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. T -> x e. ( N ` S ) ) )
6		acsmapd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. (ACS ` X ) )
7		acsmapd.2	. . . . . 6 |- N = (mrCls ` A )
8		acsmapd.3	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ X )
9	6, 7, 8	acsficl2d 17176	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( N ` S ) <-> E. y e. ( ~P S i^i Fin ) x e. ( N ` y ) ) )
10	5, 9	sylibd 229	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. T -> E. y e. ( ~P S i^i Fin ) x e. ( N ` y ) ) )
11	10	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. x e. T E. y e. ( ~P S i^i Fin ) x e. ( N ` y ) )
12		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = ( f ` x ) -> ( N ` y ) = ( N ` ( f ` x ) ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( y = ( f ` x ) -> ( x e. ( N ` y ) <-> x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) )
14	13	ac6sg 9310	. . 3 |- ( T e. _V -> ( A. x e. T E. y e. ( ~P S i^i Fin ) x e. ( N ` y ) -> E. f ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) )
15	4, 11, 14	sylc 65	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) )
16		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) -> f : T --> ( ~P S i^i Fin ) )
17		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
18		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x f : T --> ( ~P S i^i Fin )
19		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) )
20	18, 19	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) )
21	17, 20	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) )
22	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> A e. (ACS ` X ) )
23	22	acsmred 16317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> A e. (Moore ` X ) )
24		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> f : T --> ( ~P S i^i Fin ) )
25		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) -> f Fn T )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> f Fn T )
27		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn T /\ x e. T ) -> ( f ` x ) e. ran f )
28	26, 27	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> ( f ` x ) e. ran f )
29	28	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> { ( f ` x ) } C_ ran f )
30	29	unissd 4462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> U. { ( f ` x ) } C_ U. ran f )
31		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) -> ran f C_ ( ~P S i^i Fin ) )
32	31	unissd 4462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) -> U. ran f C_ U. ( ~P S i^i Fin ) )
33		unifpw 8269	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( ~P S i^i Fin ) = S
34	32, 33	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) -> U. ran f C_ S )
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> U. ran f C_ S )
36	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> S C_ X )
37	35, 36	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> U. ran f C_ X )
38	23, 7, 30, 37	mrcssd 16284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> ( N ` U. { ( f ` x ) } ) C_ ( N ` U. ran f ) )
39		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) -> A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) )
40	39	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> x e. ( N ` ( f ` x ) ) )
41		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
42	41	unisn 4451	. . . . . . . . . . 11 |- U. { ( f ` x ) } = ( f ` x )
43	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( N ` U. { ( f ` x ) } ) = ( N ` ( f ` x ) )
44	40, 43	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> x e. ( N ` U. { ( f ` x ) } ) )
45	38, 44	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) /\ x e. T ) -> x e. ( N ` U. ran f ) )
46	45	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) -> ( x e. T -> x e. ( N ` U. ran f ) ) )
47	21, 46	alrimi 2082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) -> A. x ( x e. T -> x e. ( N ` U. ran f ) ) )
48		dfss2 3591	. . . . . 6 |- ( T C_ ( N ` U. ran f ) <-> A. x ( x e. T -> x e. ( N ` U. ran f ) ) )
49	47, 48	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) -> T C_ ( N ` U. ran f ) )
50	16, 49	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) ) -> ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ T C_ ( N ` U. ran f ) ) )
51	50	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) -> ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ T C_ ( N ` U. ran f ) ) ) )
52	51	eximdv 1846	. 2 |- ( ph -> ( E. f ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ A. x e. T x e. ( N ` ( f ` x ) ) ) -> E. f ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ T C_ ( N ` U. ran f ) ) ) )
53	15, 52	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : T --> ( ~P S i^i Fin ) /\ T C_ ( N ` U. ran f ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  acsmap2d  17179