Theorem aomclem8 37631

Description: Lemma for dfac11 37632. Perform variable substitutions. This is the most we can say without invoking regularity. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem8.a	|- ( ph -> A e. On )
aomclem8.y	|- ( ph -> A. a e. ~P ( R1 ` A ) ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
aomclem8	|- ( ph -> E. b b We ( R1 ` A ) )

Distinct variable groups:   ph, b   A, a, b   y, a, b

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   A( y)

Proof of Theorem aomclem8

Dummy variables c d e f g h i j l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ2 2004	. . . . . . 7 |- ( h = b -> ( i e. h <-> i e. b ) )
2		elequ2 2004	. . . . . . . 8 |- ( g = c -> ( i e. g <-> i e. c ) )
3	2	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( g = c -> ( -. i e. g <-> -. i e. c ) )
4	1, 3	bi2anan9r 918	. . . . . 6 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( i e. h /\ -. i e. g ) <-> ( i e. b /\ -. i e. c ) ) )
5		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( g = c -> ( j e. g <-> j e. c ) )
6		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( h = b -> ( j e. h <-> j e. b ) )
7	5, 6	bi2bian9 919	. . . . . . . 8 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( j e. g <-> j e. h ) <-> ( j e. c <-> j e. b ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) <-> ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) <-> A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) )
10	4, 9	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) <-> ( ( i e. b /\ -. i e. c ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) <-> E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. b /\ -. i e. c ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) ) )
12		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( i = d -> ( i e. b <-> d e. b ) )
13		elequ1 1997	. . . . . . . 8 |- ( i = d -> ( i e. c <-> d e. c ) )
14	13	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( i = d -> ( -. i e. c <-> -. d e. c ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( i = d -> ( ( i e. b /\ -. i e. c ) <-> ( d e. b /\ -. d e. c ) ) )
16		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( i = d -> ( j ( e ` U. dom e ) i <-> j ( e ` U. dom e ) d ) )
17	16	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( i = d -> ( ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) <-> ( j ( e ` U. dom e ) d -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( i = d -> ( A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) <-> A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) d -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) )
19		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( j = f -> ( j ( e ` U. dom e ) d <-> f ( e ` U. dom e ) d ) )
20		elequ1 1997	. . . . . . . . . 10 |- ( j = f -> ( j e. c <-> f e. c ) )
21		elequ1 1997	. . . . . . . . . 10 |- ( j = f -> ( j e. b <-> f e. b ) )
22	20, 21	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( j = f -> ( ( j e. c <-> j e. b ) <-> ( f e. c <-> f e. b ) ) )
23	19, 22	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( j = f -> ( ( j ( e ` U. dom e ) d -> ( j e. c <-> j e. b ) ) <-> ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) ) )
24	23	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) d -> ( j e. c <-> j e. b ) ) <-> A. f e. ( R1 ` U. dom e ) ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) )
25	18, 24	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( i = d -> ( A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) <-> A. f e. ( R1 ` U. dom e ) ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) ) )
26	15, 25	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( i = d -> ( ( ( i e. b /\ -. i e. c ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) <-> ( ( d e. b /\ -. d e. c ) /\ A. f e. ( R1 ` U. dom e ) ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) ) ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. b /\ -. i e. c ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. c <-> j e. b ) ) ) <-> E. d e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( d e. b /\ -. d e. c ) /\ A. f e. ( R1 ` U. dom e ) ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) ) )
28	11, 27	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) <-> E. d e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( d e. b /\ -. d e. c ) /\ A. f e. ( R1 ` U. dom e ) ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) ) ) )
29	28	cbvopabv 4722	. 2 |- { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } = { <. c , b >. | E. d e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( d e. b /\ -. d e. c ) /\ A. f e. ( R1 ` U. dom e ) ( f ( e ` U. dom e ) d -> ( f e. c <-> f e. b ) ) ) }
30		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ c sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } )
31		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ g ( y ` c )
32		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ g ( R1 ` dom e )
33		nfopab1 4719	. . . 4 |- F/_ g { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) }
34	31, 32, 33	nfsup 8357	. . 3 |- F/_ g sup ( ( y ` c ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } )
35		fveq2 6191	. . . 4 |- ( g = c -> ( y ` g ) = ( y ` c ) )
36	35	supeq1d 8352	. . 3 |- ( g = c -> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) = sup ( ( y ` c ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) )
37	30, 34, 36	cbvmpt 4749	. 2 |- ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) = ( c e. _V |-> sup ( ( y ` c ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) )
38		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ c ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) )
39		nffvmpt1 6199	. . . 4 |- F/_ g ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) )
40		rneq 5351	. . . . . 6 |- ( g = c -> ran g = ran c )
41	40	difeq2d 3728	. . . . 5 |- ( g = c -> ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) = ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( g = c -> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) = ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) ) )
43	38, 39, 42	cbvmpt 4749	. . 3 |- ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) = ( c e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) ) )
44		recseq 7470	. . 3 |- ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) = ( c e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) ) ) -> recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) = recs ( ( c e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) ) ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 |- recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) = recs ( ( c e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran c ) ) ) )
46		nfv 1843	. . 3 |- F/ c |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } )
47		nfv 1843	. . 3 |- F/ b |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } )
48		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ g ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) )
49	48	nfrecs 7471	. . . . . . 7 |- F/_ grecs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) )
50	49	nfcnv 5301	. . . . . 6 |- F/_ g `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) )
51		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ g { c }
52	50, 51	nfima 5474	. . . . 5 |- F/_ g ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } )
53	52	nfint 4486	. . . 4 |- F/_ g |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } )
54		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ g { b }
55	50, 54	nfima 5474	. . . . 5 |- F/_ g ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } )
56	55	nfint 4486	. . . 4 |- F/_ g |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } )
57	53, 56	nfel 2777	. . 3 |- F/ g |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ h _V
59		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h ( y ` g )
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h ( R1 ` dom e )
61		nfopab2 4720	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) }
62	59, 60, 61	nfsup 8357	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } )
63	58, 62	nfmpt 4746	. . . . . . . . . 10 |- F/_ h ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) )
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ h ( ( R1 ` dom e ) \ ran g )
65	63, 64	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ h ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) )
66	58, 65	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ h ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) )
67	66	nfrecs 7471	. . . . . . 7 |- F/_ hrecs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) )
68	67	nfcnv 5301	. . . . . 6 |- F/_ h `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) )
69		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ h { c }
70	68, 69	nfima 5474	. . . . 5 |- F/_ h ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } )
71	70	nfint 4486	. . . 4 |- F/_ h |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } )
72		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ h { b }
73	68, 72	nfima 5474	. . . . 5 |- F/_ h ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } )
74	73	nfint 4486	. . . 4 |- F/_ h |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } )
75	71, 74	nfel 2777	. . 3 |- F/ h |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } )
76		sneq 4187	. . . . . 6 |- ( g = c -> { g } = { c } )
77	76	imaeq2d 5466	. . . . 5 |- ( g = c -> ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) = ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) )
78	77	inteqd 4480	. . . 4 |- ( g = c -> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) = |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) )
79		sneq 4187	. . . . . 6 |- ( h = b -> { h } = { b } )
80	79	imaeq2d 5466	. . . . 5 |- ( h = b -> ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) = ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } ) )
81	80	inteqd 4480	. . . 4 |- ( h = b -> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) = |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } ) )
82		eleq12 2691	. . . 4 |- ( ( |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) = |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) /\ |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) = |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } ) ) -> ( |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) <-> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } ) ) )
83	78, 81, 82	syl2an 494	. . 3 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) <-> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } ) ) )
84	46, 47, 57, 75, 83	cbvopab 4721	. 2 |- { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } = { <. c , b >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { c } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { b } ) }
85		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( g = c -> ( rank ` g ) = ( rank ` c ) )
86		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( h = b -> ( rank ` h ) = ( rank ` b ) )
87	85, 86	breqan12d 4669	. . . 4 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) <-> ( rank ` c ) _E ( rank ` b ) ) )
88	85, 86	eqeqan12d 2638	. . . . 5 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) <-> ( rank ` c ) = ( rank ` b ) ) )
89		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> g = c )
90		suceq 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` g ) = ( rank ` c ) -> suc ( rank ` g ) = suc ( rank ` c ) )
91	85, 90	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( g = c -> suc ( rank ` g ) = suc ( rank ` c ) )
92	91	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> suc ( rank ` g ) = suc ( rank ` c ) )
93	92	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( e ` suc ( rank ` g ) ) = ( e ` suc ( rank ` c ) ) )
94		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> h = b )
95	89, 93, 94	breq123d 4667	. . . . 5 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h <-> c ( e ` suc ( rank ` c ) ) b ) )
96	88, 95	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) <-> ( ( rank ` c ) = ( rank ` b ) /\ c ( e ` suc ( rank ` c ) ) b ) ) )
97	87, 96	orbi12d 746	. . 3 |- ( ( g = c /\ h = b ) -> ( ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) <-> ( ( rank ` c ) _E ( rank ` b ) \/ ( ( rank ` c ) = ( rank ` b ) /\ c ( e ` suc ( rank ` c ) ) b ) ) ) )
98	97	cbvopabv 4722	. 2 |- { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } = { <. c , b >. | ( ( rank ` c ) _E ( rank ` b ) \/ ( ( rank ` c ) = ( rank ` b ) /\ c ( e ` suc ( rank ` c ) ) b ) ) }
99		eqid 2622	. 2 |- ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) ) = ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) )
100		dmeq 5324	. . . . . . 7 |- ( l = e -> dom l = dom e )
101	100	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( l = e -> U. dom l = U. dom e )
102	100, 101	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( l = e -> ( dom l = U. dom l <-> dom e = U. dom e ) )
103		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( l = e -> ( l ` suc ( rank ` g ) ) = ( e ` suc ( rank ` g ) ) )
104	103	breqd 4664	. . . . . . . . 9 |- ( l = e -> ( g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h <-> g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) )
105	104	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( l = e -> ( ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) <-> ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) )
106	105	orbi2d 738	. . . . . . 7 |- ( l = e -> ( ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) <-> ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) ) )
107	106	opabbidv 4716	. . . . . 6 |- ( l = e -> { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } = { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } )
108		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = e -> ( y ` g ) = ( y ` g ) )
109	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = e -> ( R1 ` dom l ) = ( R1 ` dom e ) )
110	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = e -> ( R1 ` U. dom l ) = ( R1 ` U. dom e ) )
111		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = e -> l = e )
112	111, 101	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l = e -> ( l ` U. dom l ) = ( e ` U. dom e ) )
113	112	breqd 4664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = e -> ( j ( l ` U. dom l ) i <-> j ( e ` U. dom e ) i ) )
114	113	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = e -> ( ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) <-> ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) )
115	110, 114	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = e -> ( A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) <-> A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) )
116	115	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = e -> ( ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) <-> ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) ) )
117	110, 116	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = e -> ( E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) <-> E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) ) )
118	117	opabbidv 4716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = e -> { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } = { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } )
119	108, 109, 118	supeq123d 8356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = e -> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) = sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) )
120	119	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = e -> ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) = ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) )
121	109	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = e -> ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) = ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) )
122	120, 121	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = e -> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) = ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) )
123	122	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = e -> ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) = ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) )
124		recseq 7470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) = ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) -> recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) = recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = e -> recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) = recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) )
126	125	cnveqd 5298	. . . . . . . . . 10 |- ( l = e -> `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) = `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) )
127	126	imaeq1d 5465	. . . . . . . . 9 |- ( l = e -> ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) = ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) )
128	127	inteqd 4480	. . . . . . . 8 |- ( l = e -> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) = |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) )
129	126	imaeq1d 5465	. . . . . . . . 9 |- ( l = e -> ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) = ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) )
130	129	inteqd 4480	. . . . . . . 8 |- ( l = e -> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) = |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) )
131	128, 130	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( l = e -> ( |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) <-> |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) ) )
132	131	opabbidv 4716	. . . . . 6 |- ( l = e -> { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } = { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } )
133	102, 107, 132	ifbieq12d 4113	. . . . 5 |- ( l = e -> if ( dom l = U. dom l , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) = if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) )
134	109	sqxpeqd 5141	. . . . 5 |- ( l = e -> ( ( R1 ` dom l ) X. ( R1 ` dom l ) ) = ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) )
135	133, 134	ineq12d 3815	. . . 4 |- ( l = e -> ( if ( dom l = U. dom l , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom l ) X. ( R1 ` dom l ) ) ) = ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) ) )
136	135	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( l e. _V |-> ( if ( dom l = U. dom l , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom l ) X. ( R1 ` dom l ) ) ) ) = ( e e. _V |-> ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) ) )
137		recseq 7470	. . 3 |- ( ( l e. _V |-> ( if ( dom l = U. dom l , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom l ) X. ( R1 ` dom l ) ) ) ) = ( e e. _V |-> ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) ) ) -> recs ( ( l e. _V |-> ( if ( dom l = U. dom l , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom l ) X. ( R1 ` dom l ) ) ) ) ) = recs ( ( e e. _V |-> ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) ) ) ) )
138	136, 137	ax-mp 5	. 2 |- recs ( ( l e. _V |-> ( if ( dom l = U. dom l , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( l ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom l ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom l ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom l ) ( j ( l ` U. dom l ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom l ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom l ) X. ( R1 ` dom l ) ) ) ) ) = recs ( ( e e. _V |-> ( if ( dom e = U. dom e , { <. g , h >. | ( ( rank ` g ) _E ( rank ` h ) \/ ( ( rank ` g ) = ( rank ` h ) /\ g ( e ` suc ( rank ` g ) ) h ) ) } , { <. g , h >. | |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { g } ) e. |^| ( `'recs ( ( g e. _V |-> ( ( g e. _V |-> sup ( ( y ` g ) , ( R1 ` dom e ) , { <. g , h >. | E. i e. ( R1 ` U. dom e ) ( ( i e. h /\ -. i e. g ) /\ A. j e. ( R1 ` U. dom e ) ( j ( e ` U. dom e ) i -> ( j e. g <-> j e. h ) ) ) } ) ) ` ( ( R1 ` dom e ) \ ran g ) ) ) ) " { h } ) } ) i^i ( ( R1 ` dom e ) X. ( R1 ` dom e ) ) ) ) )
139		aomclem8.a	. 2 |- ( ph -> A e. On )
140		aomclem8.y	. . 3 |- ( ph -> A. a e. ~P ( R1 ` A ) ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
141		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( a = c -> ( a =/= (/) <-> c =/= (/) ) )
142		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( a = c -> ( y ` a ) = ( y ` c ) )
143		pweq 4161	. . . . . . . 8 |- ( a = c -> ~P a = ~P c )
144	143	ineq1d 3813	. . . . . . 7 |- ( a = c -> ( ~P a i^i Fin ) = ( ~P c i^i Fin ) )
145	144	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( a = c -> ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) = ( ( ~P c i^i Fin ) \ { (/) } ) )
146	142, 145	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( a = c -> ( ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( y ` c ) e. ( ( ~P c i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
147	141, 146	imbi12d 334	. . . 4 |- ( a = c -> ( ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) <-> ( c =/= (/) -> ( y ` c ) e. ( ( ~P c i^i Fin ) \ { (/) } ) ) ) )
148	147	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. a e. ~P ( R1 ` A ) ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) <-> A. c e. ~P ( R1 ` A ) ( c =/= (/) -> ( y ` c ) e. ( ( ~P c i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
149	140, 148	sylib 208	. 2 |- ( ph -> A. c e. ~P ( R1 ` A ) ( c =/= (/) -> ( y ` c ) e. ( ( ~P c i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
150	29, 37, 45, 84, 98, 99, 138, 139, 149	aomclem7 37630	1 |- ( ph -> E. b b We ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fincfn 7955   supcsup 8346   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-sup 8348  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  dfac11  37632