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Theorem areacirclem5 33504
Description: Finding the cross-section of a circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 22-Sep-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
areacirc.1 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
Assertion
Ref Expression
areacirclem5 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
Distinct variable groups:   x, y, t, R   t, S
Allowed substitution hints:   S( x, y)
Proof of Theorem areacirclem5
Dummy variable u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 areacirc.1 . . . 4 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
21imaeq1i 5463 . . 3 |- ( S " { t } ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } )
3 vex 3203 . . . 4 |- t e. _V
4 imasng 5487 . . . 4 |- ( t e. _V -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } )
53, 4ax-mp 5 . . 3 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } " { t } ) = { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u }
6 df-br 4654 . . . . 5 |- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } )
7 vex 3203 . . . . . 6 |- u e. _V
8 eleq1 2689 . . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( x e. RR <-> t e. RR ) )
98anbi1d 741 . . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ y e. RR ) ) )
10 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( x ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
1110oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
1211breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
139, 12anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( x = t -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
14 eleq1 2689 . . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( y e. RR <-> u e. RR ) )
1514anbi2d 740 . . . . . . 7 |- ( y = u -> ( ( t e. RR /\ y e. RR ) <-> ( t e. RR /\ u e. RR ) ) )
16 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( y ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
1716oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
1817breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( y = u -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
1915, 18anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( y = u -> ( ( ( t e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
203, 7, 13, 19opelopab 4997 . . . . 5 |- ( <. t , u >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } <-> ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
21 anass 681 . . . . 5 |- ( ( ( t e. RR /\ u e. RR ) /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
226, 20, 213bitri 286 . . . 4 |- ( t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) )
2322abbii 2739 . . 3 |- { u | t { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } u } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) }
242, 5, 233eqtri 2648 . 2 |- ( S " { t } ) = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) }
25 simp3 1063 . . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> t e. RR )
2625biantrurd 529 . . . 4 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) ) )
2726abbidv 2741 . . 3 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } )
28 resqcl 12931 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR -> ( R ^ 2 ) e. RR )
29283ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
30 resqcl 12931 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
31303ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
3229, 31resubcld 10458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR )
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. RR )
34 absresq 14042 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
35343ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
3635breq1d 4663 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
37 recn 10026 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. RR -> t e. CC )
3837abscld 14175 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
39383ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
40 simp1 1061 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> R e. RR )
4137absge0d 14183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
42413ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
43 simp2 1062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
4439, 40, 42, 43le2sqd 13044 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
4529, 31subge0d 10617 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
4636, 44, 453bitr4d 300 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) <_ R <-> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
4746biimpa 501 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
4833, 47resqrtcld 14156 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
4948renegcld 10457 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
5049rexrd 10089 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
5148rexrd 10089 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
52 iccval 12214 . . . . . 6 |- ( ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* /\ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* ) -> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
5350, 51, 52syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
54 iftrue 4092 . . . . . 6 |- ( ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
5554adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
56 absresq 14042 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
5732recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC )
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) e. CC )
5958sqsqrtd 14178 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
6056, 59breqan12rd 4670 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
61 recn 10026 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> u e. CC )
6261abscld 14175 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( abs ` u ) e. RR )
6448adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
6561absge0d 14183 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` u ) )
6733, 47sqrtge0d 14159 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
6963, 64, 66, 68le2sqd 13044 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7031adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
71 resqcl 12931 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
7329adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
7470, 72, 73leaddsub2d 10629 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
7574adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) <_ ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
7660, 69, 753bitr4rd 301 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
77 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR )
7877, 64absled 14169 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( abs ` u ) <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <-> ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
79 rexr 10085 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> u e. RR* )
8079adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> u e. RR* )
8180biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8276, 78, 813bitrd 294 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ u e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8382pm5.32da 673 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
84 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR* )
8548adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
86 mnfxr 10096 . . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo e. RR* )
8849adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR )
8988rexrd 10089 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR* )
9049mnfltd 11958 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
92 simprrl 804 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u )
9387, 89, 84, 91, 92xrltletrd 11992 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> -oo < u )
94 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
95 xrre 12000 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. RR* /\ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) e. RR ) /\ ( -oo < u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR )
9684, 85, 93, 94, 95syl22anc 1327 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) -> u e. RR )
9796ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) -> u e. RR ) )
9897pm4.71rd 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( u e. RR /\ ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
9983, 98bitr4d 271 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) <-> ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
10099abbidv 2741 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) } )
101 df-rab 2921 . . . . . 6 |- { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } = { u | ( u e. RR* /\ ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) }
102100, 101syl6eqr 2674 . . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = { u e. RR* | ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) <_ u /\ u <_ ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) } )
10353, 55, 1023eqtr4rd 2667 . . . 4 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
10440, 39ltnled 10184 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> -. ( abs ` t ) <_ R ) )
105104biimprd 238 . . . . . . 7 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( -. ( abs ` t ) <_ R -> R < ( abs ` t ) ) )
106105imdistani 726 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) )
107 df-rab 2921 . . . . . . 7 |- { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) }
108293ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
109313ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
110713ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
111109, 110readdcld 10069 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) e. RR )
11240, 39, 43, 42lt2sqd 13043 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) ) )
11335breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( abs ` t ) ^ 2 ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) )
114112, 113bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( R < ( abs ` t ) <-> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) ) )
115114biimpa 501 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) )
1161153adant3 1081 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( t ^ 2 ) )
117 sqge0 12940 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( u ^ 2 ) )
1181173ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> 0 <_ ( u ^ 2 ) )
119109, 110addge01d 10615 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ ( u ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) ) )
120118, 119mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
121108, 109, 111, 116, 120ltletrd 10197 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) )
122108, 111ltnled 10184 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) < ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <-> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) )
123121, 122mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
1241233expa 1265 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) /\ u e. RR ) -> -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
125124ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
126 rabeq0 3957 . . . . . . . 8 |- ( { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) <-> A. u e. RR -. ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) )
127125, 126sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u e. RR | ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) } = (/) )
128107, 127syl5eqr 2670 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ R < ( abs ` t ) ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) )
129106, 128syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = (/) )
130 iffalse 4095 . . . . . 6 |- ( -. ( abs ` t ) <_ R -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) )
131130adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) = (/) )
132129, 131eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) /\ -. ( abs ` t ) <_ R ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
133103, 132pm2.61dan 832 . . 3 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
13427, 133eqtr3d 2658 . 2 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> { u | ( t e. RR /\ ( u e. RR /\ ( ( t ^ 2 ) + ( u ^ 2 ) ) <_ ( R ^ 2 ) ) ) } = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
13524, 134syl5eq 2668 1 |- ( ( R e. RR /\ 0 <_ R /\ t e. RR ) -> ( S " { t } ) = if ( ( abs ` t ) <_ R , ( -u ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) [,] ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) , (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976
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