Theorem absge0d 14183

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
absge0d	|- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		absge0 14027	. 2 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   CCcc 9934   0cc0 9936   <_ cle 10075   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14256  mulcn2  14326  o1mul  14345  o1rlimmul  14349  o1fsum  14545  cvgcmpce  14550  explecnv  14597  cvgrat  14615  mertenslem1  14616  mertenslem2  14617  efcllem  14808  eftlub  14839  sqnprm  15414  gzrngunitlem  19811  blcvx  22601  cnheibor  22754  cphsqrtcl2  22986  ipcau2  23033  trirn  23183  rrxdstprj1  23192  mbfi1fseqlem6  23487  iblabs  23595  iblabsr  23596  iblmulc2  23597  itgabs  23601  bddmulibl  23605  itgcn  23609  dvlip  23756  dvlipcn  23757  dveq0  23763  dv11cn  23764  plyeq0lem  23966  aalioulem3  24089  mtest  24158  radcnvlem1  24167  radcnvlem2  24168  radcnvlt1  24172  dvradcnv  24175  pserulm  24176  psercnlem2  24178  psercnlem1  24179  pserdvlem1  24181  pserdv  24183  abelthlem5  24189  abelthlem7  24192  abelthlem8  24193  tanregt0  24285  efif1olem3  24290  argregt0  24356  argrege0  24357  logtayllem  24405  logtayl  24406  abscxpbnd  24494  heron  24565  efrlim  24696  rlimcxp  24700  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem5  24759  lgamcvg2  24781  ftalem1  24799  ftalem4  24802  ftalem5  24803  lgsdirprm  25056  lgsdilem2  25058  lgsne0  25060  2sqblem  25156  dchrisumlem2  25179  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0lem2a  25206  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulog2sumlem2  25224  selberglem2  25235  selberg3lem2  25247  pntrsumbnd  25255  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntleml  25300  smcnlem  27552  nmoub3i  27628  nmfnge0  28786  sqsscirc2  29955  dnibndlem11  32478  knoppcnlem4  32486  unblimceq0lem  32497  unblimceq0  32498  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem18  32520  mblfinlem2  33447  iblabsnc  33474  iblmulc2nc  33475  itgabsnc  33479  bddiblnc  33480  ftc1anclem2  33486  ftc1anclem4  33488  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem7  33491  ftc1anclem8  33492  ftc1anc  33493  ftc2nc  33494  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirclem2  33501  areacirclem4  33503  areacirclem5  33504  areacirc  33505  cntotbnd  33595  rrndstprj1  33629  rrndstprj2  33630  ismrer1  33637  pell14qrgt0  37423  radcnvrat  38513  dvconstbi  38533  binomcxplemnotnn0  38555  abslt2sqd  39576  dvdivbd  40138  dvbdfbdioolem1  40143  dvbdfbdioolem2  40144  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  fourierdlem30  40354  fourierdlem39  40363  fourierdlem47  40370  fourierdlem73  40396  fourierdlem77  40400  fourierdlem87  40410  etransclem23  40474  rrndistlt  40510  smfmullem1  40998  smfmullem2  40999  smfmullem3  41000