Theorem ballotlemimin 30567

Description: ( I ` C ) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemimin	|- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I   k, c, E   i, I

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemimin

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 12345	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) )
3		elfzelz 12342	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ZZ )
4		ballotth.m	. . . . . . . . . 10 |- M e. NN
5		ballotth.n	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN
6		ballotth.o	. . . . . . . . . 10 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
7		ballotth.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
8		ballotth.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
9		ballotth.e	. . . . . . . . . 10 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
10		ballotth.mgtn	. . . . . . . . . 10 |- N < M
11		ballotth.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemiex 30563	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13	12	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
14		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
16	15	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17		zltlem1 11430	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
18	3, 16, 17	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k <_ ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
19	2, 18	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> k < ( I ` C ) )
20	19	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> k < ( I ` C ) )
21		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
22	16, 21	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
23	22	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
24		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
25	4, 5, 24	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M + N ) e. NN
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. NN )
27	26	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
28		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
30	26	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
31		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
32	16, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
33	29, 32	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) )
34	23, 27, 33	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
35		eluz 11701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
36	22, 30, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
37	34, 36	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
38		fzss2 12381	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
40	39	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> k e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) )
41		rabid 3116	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
42	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemsup 30566	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
43		ltso 10118	. . . . . . . . . . . 12 |- < Or RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> < Or RR )
45		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
46	44, 45	inflb 8395	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
48	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ballotlemi 30562	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
49	48	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k < ( I ` C ) <-> k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
50	49	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. k < ( I ` C ) <-> -. k < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
51	47, 50	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( k e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. k < ( I ` C ) ) )
52	41, 51	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) ) )
53	40, 52	syland 498	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) ) )
54	53	imp 445	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
55		biid 251	. . . . 5 |- ( k < ( I ` C ) <-> k < ( I ` C ) )
56	54, 55	sylnib 318	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) ) -> -. k < ( I ` C ) )
57	56	anassrs 680	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> -. k < ( I ` C ) )
58	20, 57	pm2.65da 600	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
59	58	nrexdv 3001	1 |- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlemic  30568  ballotlem1c  30569