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Theorem blhalf 22210
Description: A ball of radius R / 2 is contained in a ball of radius R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 790 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2 simplr 792 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Y e. X )
3 simprr 796 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) )
4 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. RR )
54rehalfcld 11279 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR )
65rexrd 10089 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR* )
7 elbl 22193 . . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
81, 2, 6, 7syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
93, 8mpbid 222 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) )
109simpld 475 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. X )
119simprd 479 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) < ( R / 2 ) )
12 xmetcl 22136 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
131, 2, 10, 12syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
14 xrltle 11982 . . . . 5 |- ( ( ( Y M Z ) e. RR* /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Y M Z ) < ( R / 2 ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) ) )
1513, 6, 14syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( Y M Z ) < ( R / 2 ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) ) )
1611, 15mpd 15 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) )
175recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. CC )
1817, 17pncand 10393 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R / 2 ) )
194recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. CC )
20192halvesd 11278 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) = R )
2120oveq1d 6665 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
2218, 21eqtr3d 2658 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
2316, 22breqtrd 4679 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) )
24 blss2 22209 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ R e. RR /\ ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
251, 2, 10, 5, 4, 23, 24syl33anc 1341 1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741
This theorem is referenced by:  met2ndci  22327  iscfil3  23071  cfilfcls  23072  iscmet3lem2  23090  lmcau  23111  lgamucov  24764  sstotbnd2  33573  isbnd2  33582  heiborlem8  33617
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