Theorem ccatsymb 13366

Description: The symbol at a given position in a concatenated word. (Contributed by AV, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccatsymb	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = if ( I < ( # ` A ) , ( A ` I ) , ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )

Proof of Theorem ccatsymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2	1	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
3	2	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) -> I < ( # ` A ) )
5	4	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> ( 0 <_ I /\ I < ( # ` A ) ) )
6		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> I e. ZZ )
7		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
8		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> ( # ` A ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( # ` A ) e. ZZ )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
11	6, 7, 10	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) )
12	11	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> ( I e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) )
13		elfzo 12472	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) <-> ( 0 <_ I /\ I < ( # ` A ) ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) <-> ( 0 <_ I /\ I < ( # ` A ) ) ) )
15	5, 14	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
16		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) )
17	3, 15, 16	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) )
18		ccatval1 13361	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( A ` I ) )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ I /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) ) -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) )
21	20	ex 450	. . . 4 |- ( 0 <_ I -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) ) )
22		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ZZ -> I e. RR )
23		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ZZ -> 0 e. RR )
24	22, 23	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( I e. ZZ -> ( I e. RR /\ 0 e. RR ) )
25	24	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I e. RR /\ 0 e. RR ) )
26		ltnle 10117	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( I < 0 <-> -. 0 <_ I ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I < 0 <-> -. 0 <_ I ) )
28		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) )
29	28	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> I < 0 )
32	31	orcd 407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( I < 0 \/ ( # ` A ) <_ I ) )
33		wrdsymb0 13339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ ( # ` A ) <_ I ) -> ( A ` I ) = (/) ) )
34	30, 32, 33	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( A ` I ) = (/) )
35		ccatcl 13359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A ++ B ) e. Word V )
36	35	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( A ++ B ) e. Word V )
37	36, 6	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ I e. ZZ ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ I e. ZZ ) )
39	31	orcd 407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( I < 0 \/ ( # ` ( A ++ B ) ) <_ I ) )
40		wrdsymb0 13339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ ( # ` ( A ++ B ) ) <_ I ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = (/) ) )
41	38, 39, 40	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = (/) )
42	34, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < 0 ) -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) )
43	42	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I < 0 -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) ) )
44	27, 43	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ I -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) ) )
45	44	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) -> ( -. 0 <_ I -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) ) )
46	45	com12 32	. . . 4 |- ( -. 0 <_ I -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) ) )
47	21, 46	pm2.61i 176	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ I < ( # ` A ) ) -> ( A ` I ) = ( ( A ++ B ) ` I ) )
48	2	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
49	8	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Word V -> ( # ` A ) e. RR )
50		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) e. RR /\ I e. RR ) -> ( ( # ` A ) <_ I <-> -. I < ( # ` A ) ) )
51	49, 22, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) <_ I <-> -. I < ( # ` A ) ) )
52	51	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) <_ I <-> -. I < ( # ` A ) ) )
53	52	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) -> ( # ` A ) <_ I )
54	53	anim2i 593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( # ` A ) <_ I ) )
55	54	ancomd 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( ( # ` A ) <_ I /\ I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
56		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. Word V -> ( # ` B ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. Word V -> ( # ` B ) e. ZZ )
58		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. ZZ )
59	9, 57, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. ZZ )
60	59	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. ZZ )
61	6, 10, 60	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. ZZ ) )
62	61	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( I e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. ZZ ) )
63		elfzo 12472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. ZZ ) -> ( I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) <-> ( ( # ` A ) <_ I /\ I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) <-> ( ( # ` A ) <_ I /\ I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) )
65	55, 64	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
66		df-3an 1039	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) )
67	48, 65, 66	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) )
68		ccatval2 13362	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ( ( # ` A )..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) )
70	69	ex 450	. . . . 5 |- ( I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )
71	56	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Word V -> ( # ` B ) e. RR )
72		readdcl 10019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) e. RR /\ ( # ` B ) e. RR ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. RR )
73	49, 71, 72	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. RR )
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) e. RR )
75	22	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> I e. RR )
76	74, 75	lenltd 10183	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I <-> -. I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
77	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ I e. ZZ ) )
78		ccatlen 13360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( # ` ( A ++ B ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) )
79	78	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( # ` ( A ++ B ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( # ` ( A ++ B ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) )
81		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I )
82	80, 81	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( # ` ( A ++ B ) ) <_ I )
83	82	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( I < 0 \/ ( # ` ( A ++ B ) ) <_ I ) )
84	77, 83, 40	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = (/) )
85		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> B e. Word V )
86		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ )
87	9, 86	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. ZZ /\ A e. Word V ) -> ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ )
88	87	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ )
89	88	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ )
90	85, 89	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( B e. Word V /\ ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( B e. Word V /\ ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ ) )
92		leaddsub2 10505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) e. RR /\ ( # ` B ) e. RR /\ I e. RR ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I <-> ( # ` B ) <_ ( I - ( # ` A ) ) ) )
93	49, 71, 22, 92	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I <-> ( # ` B ) <_ ( I - ( # ` A ) ) ) )
94	93	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( # ` B ) <_ ( I - ( # ` A ) ) )
95	94	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( ( I - ( # ` A ) ) < 0 \/ ( # ` B ) <_ ( I - ( # ` A ) ) ) )
96		wrdsymb0 13339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Word V /\ ( I - ( # ` A ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( I - ( # ` A ) ) < 0 \/ ( # ` B ) <_ ( I - ( # ` A ) ) ) -> ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) = (/) ) )
97	91, 95, 96	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) = (/) )
98	84, 97	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) )
99	98	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) <_ I -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )
100	76, 99	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( -. I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )
101	100	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) -> ( -. I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )
102	101	com12 32	. . . . 5 |- ( -. I < ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )
103	70, 102	pm2.61i 176	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) )
104	103	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) /\ -. I < ( # ` A ) ) -> ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) = ( ( A ++ B ) ` I ) )
105	47, 104	ifeqda 4121	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> if ( I < ( # ` A ) , ( A ` I ) , ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) = ( ( A ++ B ) ` I ) )
106	105	eqcomd 2628	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( A ++ B ) ` I ) = if ( I < ( # ` A ) , ( A ` I ) , ( B ` ( I - ( # ` A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  13487