Theorem cdj3lem3b 29299

Description: Lemma for cdj3i 29300. The second-component function T is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem3.3	|- T = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( z +h w ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3b	|- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   v, T, u

Allowed substitution hints:   T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem3b

Dummy variables t h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.2	. . 3 |- B e. SH
2		cdj3lem2.1	. . 3 |- A e. SH
3		cdj3lem3.3	. . . 4 |- T = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( z +h w ) ) )
4	1, 2	shscomi 28222	. . . . 5 |- ( B +H A ) = ( A +H B )
5	1	sheli 28071	. . . . . . . . 9 |- ( w e. B -> w e. ~H )
6	2	sheli 28071	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> z e. ~H )
7		ax-hvcom 27858	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( w +h z ) = ( z +h w ) )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. B /\ z e. A ) -> ( w +h z ) = ( z +h w ) )
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( w e. B /\ z e. A ) -> ( x = ( w +h z ) <-> x = ( z +h w ) ) )
10	9	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( E. z e. A x = ( w +h z ) <-> E. z e. A x = ( z +h w ) ) )
11	10	riotabiia 6628	. . . . 5 |- ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( w +h z ) ) = ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( z +h w ) )
12	4, 11	mpteq12i 4742	. . . 4 |- ( x e. ( B +H A ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( w +h z ) ) ) = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( z +h w ) ) )
13	3, 12	eqtr4i 2647	. . 3 |- T = ( x e. ( B +H A ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( w +h z ) ) )
14	1, 2, 13	cdj3lem2b 29296	. 2 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( B +H A ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( normh ` x ) = ( normh ` t ) )
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( x +h y ) = ( t +h y ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = t -> ( normh ` ( x +h y ) ) = ( normh ` ( t +h y ) ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = t -> ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) )
20	16, 19	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = t -> ( ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = h -> ( normh ` y ) = ( normh ` h ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y = h -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = h -> ( t +h y ) = ( t +h h ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = h -> ( normh ` ( t +h y ) ) = ( normh ` ( t +h h ) ) )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y = h -> ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( y = h -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
27	20, 26	cbvral2v 3179	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
28		ralcom 3098	. . . . 5 |- ( A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> A. h e. B A. t e. A ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
29	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B -> x e. ~H )
30		normcl 27982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( normh ` x ) e. RR )
32	31	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B -> ( normh ` x ) e. CC )
33	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> y e. ~H )
34		normcl 27982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( normh ` y ) e. RR )
36	35	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( normh ` y ) e. CC )
37		addcom 10222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` x ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) )
38	32, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) )
39		ax-hvcom 27858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) = ( y +h x ) )
40	29, 33, 39	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( x +h y ) = ( y +h x ) )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( normh ` ( x +h y ) ) = ( normh ` ( y +h x ) ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) )
43	38, 42	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) ) )
44	43	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> A. y e. A ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) ) )
45	44	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = h -> ( normh ` x ) = ( normh ` h ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = h -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) = ( ( normh ` y ) + ( normh ` h ) ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = h -> ( y +h x ) = ( y +h h ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = h -> ( normh ` ( y +h x ) ) = ( normh ` ( y +h h ) ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = h -> ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( y +h h ) ) ) )
51	47, 50	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( x = h -> ( ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h h ) ) ) ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = t -> ( normh ` y ) = ( normh ` t ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( y = t -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` h ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) )
54		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = t -> ( y +h h ) = ( t +h h ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = t -> ( normh ` ( y +h h ) ) = ( normh ` ( t +h h ) ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = t -> ( v x. ( normh ` ( y +h h ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
57	53, 56	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y = t -> ( ( ( normh ` y ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h h ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
58	51, 57	cbvral2v 3179	. . . . . 6 |- ( A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` y ) + ( normh ` x ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( y +h x ) ) ) <-> A. h e. B A. t e. A ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
59	45, 58	bitr2i 265	. . . . 5 |- ( A. h e. B A. t e. A ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) )
60	27, 28, 59	3bitri 286	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) )
61	60	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) <-> ( 0 < v /\ A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) )
62	61	rexbii 3041	. 2 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) <-> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. B A. y e. A ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) )
63	2, 1	shscomi 28222	. . . . 5 |- ( A +H B ) = ( B +H A )
64	63	raleqi 3142	. . . 4 |- ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) <-> A. u e. ( B +H A ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) )
65	64	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) <-> ( 0 < v /\ A. u e. ( B +H A ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
66	65	rexbii 3041	. 2 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) <-> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( B +H A ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
67	14, 62, 66	3imtr4i 281	1 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   +h cva 27777   normhcno 27780   SHcsh 27785   +H cph 27788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch0 28110  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  cdj3i  29300