Theorem cdj3lem2b 29296

Description: Lemma for cdj3i 29300. The first-component function S is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 26-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	|- A e. SH
cdj3lem2.2	|- B e. SH
cdj3lem2.3	|- S = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem2b	|- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   v, S, u

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3lem2b

Dummy variables t h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3lem2.1	. . 3 |- A e. SH
2		cdj3lem2.2	. . 3 |- B e. SH
3	1, 2	cdj3lem1 29293	. 2 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> ( A i^i B ) = 0H )
4	1, 2	shseli 28175	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( A +H B ) <-> E. t e. A E. h e. B u = ( t +h h ) )
5	4	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( u e. ( A +H B ) -> E. t e. A E. h e. B u = ( t +h h ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = t -> ( normh ` x ) = ( normh ` t ) )
7	6	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = t -> ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) )
8		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( x +h y ) = ( t +h y ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = t -> ( normh ` ( x +h y ) ) = ( normh ` ( t +h y ) ) )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = t -> ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) )
11	7, 10	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = t -> ( ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( normh ` y ) = ( normh ` h ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = h -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = h -> ( t +h y ) = ( t +h h ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( normh ` ( t +h y ) ) = ( normh ` ( t +h h ) ) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = h -> ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
17	13, 16	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
18	11, 17	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
19		cdj3lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) ) )
20	1, 2, 19	cdj3lem2 29294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( S ` ( t +h h ) ) = t )
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( S ` ( t +h h ) ) = t )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) = ( normh ` t ) )
23	22	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) /\ ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) ) -> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) = ( normh ` t ) )
24	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h e. B -> h e. ~H )
25		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h e. ~H -> 0 <_ ( normh ` h ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h e. B -> 0 <_ ( normh ` h ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> 0 <_ ( normh ` h ) )
28	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t e. A -> t e. ~H )
29		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t e. ~H -> ( normh ` t ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t e. A -> ( normh ` t ) e. RR )
31		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h e. ~H -> ( normh ` h ) e. RR )
32	24, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h e. B -> ( normh ` h ) e. RR )
33		addge01 10538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( normh ` t ) e. RR /\ ( normh ` h ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( normh ` h ) <-> ( normh ` t ) <_ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) ) )
34	30, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( 0 <_ ( normh ` h ) <-> ( normh ` t ) <_ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) ) )
35	27, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( normh ` t ) <_ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) -> ( normh ` t ) <_ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) )
37	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) -> ( normh ` t ) e. RR )
38		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( normh ` t ) e. RR /\ ( normh ` h ) e. RR ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) e. RR )
39	30, 32, 38	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) e. RR )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) e. RR )
41		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( t e. ~H /\ h e. ~H ) -> ( t +h h ) e. ~H )
42	28, 24, 41	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( t +h h ) e. ~H )
43		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t +h h ) e. ~H -> ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR )
45		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. RR /\ ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR ) -> ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
46	44, 45	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. RR /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
47	46	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) -> ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
48		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( normh ` t ) e. RR /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) e. RR /\ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` t ) <_ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( normh ` t ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
49	37, 40, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) -> ( ( ( normh ` t ) <_ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( normh ` t ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
50	36, 49	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) -> ( normh ` t ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ v e. RR ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( normh ` t ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
52	51	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) /\ v e. RR ) -> ( normh ` t ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
53	52	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) /\ ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) ) -> ( normh ` t ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
54	23, 53	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) /\ ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) ) -> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t +h h ) -> ( S ` u ) = ( S ` ( t +h h ) ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) = ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` u ) = ( normh ` ( t +h h ) ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t +h h ) -> ( v x. ( normh ` u ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
59	56, 58	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t +h h ) -> ( ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) <-> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
60	54, 59	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) /\ ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) ) -> ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
61	60	exp31 630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) -> ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) ) )
62	18, 61	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) ) )
63	62	com14 96	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( t +h h ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) ) )
64	63	com4t 93	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( u = ( t +h h ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) ) )
65	64	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( E. t e. A E. h e. B u = ( t +h h ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) )
66	5, 65	syl5com 31	. . . . . 6 |- ( u e. ( A +H B ) -> ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) )
67	66	com3l 89	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> ( u e. ( A +H B ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) )
68	67	ralrimdv 2968	. . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) -> A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
69	68	anim2d 589	. . 3 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ v e. RR ) -> ( ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) )
70	69	reximdva 3017	. 2 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) ) )
71	3, 70	mpcom 38	1 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   +h cva 27777   normhcno 27780   SHcsh 27785   +H cph 27788   0Hc0h 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch0 28110  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  cdj3lem3b  29299  cdj3i  29300