Theorem cdj3i 29300

Description: Two ways to express " A and B are completely disjoint subspaces." (1) <=> (3) in Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3.1	|- A e. SH
cdj3.2	|- B e. SH
cdj3.3	|- S = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) ) )
cdj3.4	|- T = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( z +h w ) ) )
cdj3.5	|- ( ph <-> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
cdj3.6	|- ( ps <-> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cdj3i	|- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) <-> ( ( A i^i B ) = 0H /\ ph /\ ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, v, u, A   x, B, y, z, w, v, u   v, S, u   v, T, u

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, v, u)   ps( x, y, z, w, v, u)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w)

Proof of Theorem cdj3i

Dummy variables t h f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdj3.1	. . . 4 |- A e. SH
2		cdj3.2	. . . 4 |- B e. SH
3	1, 2	cdj3lem1 29293	. . 3 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> ( A i^i B ) = 0H )
4		cdj3.3	. . . . 5 |- S = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) ) )
5	1, 2, 4	cdj3lem2b 29296	. . . 4 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
6		cdj3.5	. . . 4 |- ( ph <-> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
7	5, 6	sylibr 224	. . 3 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> ph )
8		cdj3.4	. . . . 5 |- T = ( x e. ( A +H B ) |-> ( iota_ w e. B E. z e. A x = ( z +h w ) ) )
9	1, 2, 8	cdj3lem3b 29299	. . . 4 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
10		cdj3.6	. . . 4 |- ( ps <-> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . 3 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> ps )
12	3, 7, 11	3jca 1242	. 2 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) -> ( ( A i^i B ) = 0H /\ ph /\ ps ) )
13		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( v = f -> ( 0 < v <-> 0 < f ) )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = f -> ( v x. ( normh ` u ) ) = ( f x. ( normh ` u ) ) )
15	14	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( v = f -> ( ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) <-> ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( v = f -> ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) <-> A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) )
17	13, 16	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( v = f -> ( ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) <-> ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) ) )
18	17	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) <-> E. f e. RR ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) )
19	6, 18	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ph <-> E. f e. RR ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) )
20		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( v = g -> ( 0 < v <-> 0 < g ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = g -> ( v x. ( normh ` u ) ) = ( g x. ( normh ` u ) ) )
22	21	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( v = g -> ( ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) <-> ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( v = g -> ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) <-> A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) )
24	20, 23	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( v = g -> ( ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) <-> ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) )
25	24	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( v x. ( normh ` u ) ) ) <-> E. g e. RR ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) )
26	10, 25	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ps <-> E. g e. RR ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) )
27	19, 26	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) <-> ( E. f e. RR ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ E. g e. RR ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) )
28		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. f e. RR E. g e. RR ( ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) <-> ( E. f e. RR ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ E. g e. RR ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) )
29	27, 28	bitr4i 267	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) <-> E. f e. RR E. g e. RR ( ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) )
30		an4 865	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) <-> ( ( 0 < f /\ 0 < g ) /\ ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) )
31		addgt0 10514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( 0 < f /\ 0 < g ) ) -> 0 < ( f + g ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( ( 0 < f /\ 0 < g ) -> 0 < ( f + g ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( ( 0 < f /\ 0 < g ) -> 0 < ( f + g ) ) )
34	1, 2	shsvai 28223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( t +h h ) e. ( A +H B ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t +h h ) -> ( S ` u ) = ( S ` ( t +h h ) ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` ( S ` u ) ) = ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` u ) = ( normh ` ( t +h h ) ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t +h h ) -> ( f x. ( normh ` u ) ) = ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
39	36, 38	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t +h h ) -> ( ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) <-> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
40	39	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t +h h ) e. ( A +H B ) -> ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) -> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( t +h h ) -> ( T ` u ) = ( T ` ( t +h h ) ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t +h h ) -> ( normh ` ( T ` u ) ) = ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) )
43	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( t +h h ) -> ( g x. ( normh ` u ) ) = ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
44	42, 43	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( t +h h ) -> ( ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) <-> ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
45	44	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t +h h ) e. ( A +H B ) -> ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) -> ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
46	40, 45	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t +h h ) e. ( A +H B ) -> ( ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) -> ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
47	34, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) -> ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) -> ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
49	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. A -> t e. ~H )
50		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ~H -> ( normh ` t ) e. RR )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. A -> ( normh ` t ) e. RR )
52	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. B -> h e. ~H )
53		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. ~H -> ( normh ` h ) e. RR )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. B -> ( normh ` h ) e. RR )
55	51, 54	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( ( normh ` t ) e. RR /\ ( normh ` h ) e. RR ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( normh ` t ) e. RR /\ ( normh ` h ) e. RR ) )
57		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. ~H /\ h e. ~H ) -> ( t +h h ) e. ~H )
58	49, 52, 57	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( t +h h ) e. ~H )
59		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t +h h ) e. ~H -> ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR )
61		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. RR /\ ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR ) -> ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
62	60, 61	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. RR /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
64		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. RR /\ ( normh ` ( t +h h ) ) e. RR ) -> ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
65	60, 64	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. RR /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
66	65	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR )
67		le2add 10510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( normh ` t ) e. RR /\ ( normh ` h ) e. RR ) /\ ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR /\ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
68	56, 63, 66, 67	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
69	68	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
70	1, 2, 4	cdj3lem2 29294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( S ` ( t +h h ) ) = t )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) = ( normh ` t ) )
72	71	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
73	1, 2, 8	cdj3lem3 29297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( T ` ( t +h h ) ) = h )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) = ( normh ` h ) )
75	74	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
76	72, 75	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. A /\ h e. B /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
77	76	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( t e. A /\ h e. B ) /\ ( A i^i B ) = 0H ) -> ( ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
78	77	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
79	78	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` h ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
80		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. RR -> f e. CC )
81		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. RR -> g e. CC )
82	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. A /\ h e. B ) -> ( normh ` ( t +h h ) ) e. CC )
83		adddir 10031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC /\ ( normh ` ( t +h h ) ) e. CC ) -> ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) = ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
84	80, 81, 82, 83	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) = ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
85	84	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) = ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
86	85	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. RR /\ g e. RR ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
87	86	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) + ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
88	69, 79, 87	3imtr4d 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( ( normh ` ( S ` ( t +h h ) ) ) <_ ( f x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` ( t +h h ) ) ) <_ ( g x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
89	48, 88	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) /\ ( t e. A /\ h e. B ) ) -> ( ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
90	89	ralrimdvva 2974	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) -> A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
91		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f + g ) e. RR )
92		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( f + g ) -> ( 0 < v <-> 0 < ( f + g ) ) )
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( normh ` x ) = ( normh ` t ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) )
95		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( x +h y ) = ( t +h y ) )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( normh ` ( x +h y ) ) = ( normh ` ( t +h y ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) )
98	94, 97	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = t -> ( ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = h -> ( normh ` y ) = ( normh ` h ) )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = h -> ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) = ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) )
101		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = h -> ( t +h y ) = ( t +h h ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = h -> ( normh ` ( t +h y ) ) = ( normh ` ( t +h h ) ) )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = h -> ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) = ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
104	100, 103	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h y ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
105	98, 104	cbvral2v 3179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
106		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( f + g ) -> ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) = ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) )
107	106	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( f + g ) -> ( ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
108	107	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( f + g ) -> ( A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) <-> A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
109	105, 108	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( f + g ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) <-> A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) )
110	92, 109	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f + g ) -> ( ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) <-> ( 0 < ( f + g ) /\ A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) )
111	110	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f + g ) e. RR /\ ( 0 < ( f + g ) /\ A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) )
112	111	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( f + g ) e. RR -> ( ( 0 < ( f + g ) /\ A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
113	91, 112	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( ( 0 < ( f + g ) /\ A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
114	113	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( ( 0 < ( f + g ) /\ A. t e. A A. h e. B ( ( normh ` t ) + ( normh ` h ) ) <_ ( ( f + g ) x. ( normh ` ( t +h h ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
115	33, 90, 114	syl2and 500	. . . . . 6 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( ( ( 0 < f /\ 0 < g ) /\ ( A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
116	30, 115	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( ( ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
117	116	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( E. f e. RR E. g e. RR ( ( 0 < f /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( S ` u ) ) <_ ( f x. ( normh ` u ) ) ) /\ ( 0 < g /\ A. u e. ( A +H B ) ( normh ` ( T ` u ) ) <_ ( g x. ( normh ` u ) ) ) ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
118	29, 117	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( A i^i B ) = 0H -> ( ( ph /\ ps ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) ) )
119	118	3impib 1262	. 2 |- ( ( ( A i^i B ) = 0H /\ ph /\ ps ) -> E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) )
120	12, 119	impbii 199	1 |- ( E. v e. RR ( 0 < v /\ A. x e. A A. y e. B ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) <_ ( v x. ( normh ` ( x +h y ) ) ) ) <-> ( ( A i^i B ) = 0H /\ ph /\ ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   +h cva 27777   normhcno 27780   SHcsh 27785   +H cph 27788   0Hc0h 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch0 28110  df-shs 28167

This theorem is referenced by: (None)