hoiqssbllem3 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem hoiqssbllem3 40838

Description: A n-dimensional ball contains a non-empty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hoiqssbllem3.x
hoiqssbllem3.n
hoiqssbllem3.y
hoiqssbllem3.e

**Assertion**
Ref	Expression
hoiqssbllem3	$/\$ ℝ^

Distinct variable groups:

Proof of Theorem hoiqssbllem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiqssbllem3.x	. . . . . . 7
2		qex 11800	. . . . . . . . 9
3	2	inex1 4799	. . . . . . . 8
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
5		hoiqssbllem3.y	. . . . . . . . . . . . 13
6		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
8	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$
9		hoiqssbllem3.e	. . . . . . . . . . . . 13
10		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
12		hoiqssbllem3.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15	12, 14	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . 14
19	11, 18	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13
20	9, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
22	8, 21	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	21	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
24	8, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 $/\$
25	24, 8	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 $/\$
26	22, 25	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$
27	24	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	27, 28	qinioo 39762	. . . . . . . . 9 $/\$
30	26, 29	mtbird 315	. . . . . . . 8 $/\$
31	30	neqned 2801	. . . . . . 7 $/\$
32	1, 4, 31	choicefi 39392	. . . . . 6 $/\$
33		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15
35		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
36		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
38	37	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	34, 38	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41	33, 40	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
43		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . 11 $/\$
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
45	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
46		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	45, 1, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49	44, 48	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
50		simprr 796	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51	49, 50	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
53	52	eximdv 1846	. . . . . 6 $/\$ $/\$
54	32, 53	mpd 15	. . . . 5 $/\$
55		df-rex 2918	. . . . 5 $/\$
56	54, 55	sylibr 224	. . . 4
57	2	inex1 4799	. . . . . . . 8
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
59	8, 21	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	8, 23	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 $/\$
61	8, 60	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 $/\$
62	59, 61	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$
63	60	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	28, 63	qinioo 39762	. . . . . . . . 9 $/\$
65	62, 64	mtbird 315	. . . . . . . 8 $/\$
66	65	neqned 2801	. . . . . . 7 $/\$
67	1, 58, 66	choicefi 39392	. . . . . 6 $/\$
68		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
69		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
71		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	69, 73	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . 14
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
76	68, 75	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
78		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
80		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
81	45, 1, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
83	79, 82	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
84		simprr 796	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
85	83, 84	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
87	86	eximdv 1846	. . . . . 6 $/\$ $/\$
88	67, 87	mpd 15	. . . . 5 $/\$
89		df-rex 2918	. . . . 5 $/\$
90	88, 89	sylibr 224	. . . 4
91	56, 90	jca 554	. . 3 $/\$
92		reeanv 3107	. . 3 $/\$ $/\$
93	91, 92	sylibr 224	. 2 $/\$
94		nfv 1843	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
95	34, 69	nfan 1828	. . . . . . . 8 $/\$
96	94, 95	nfan 1828	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	1	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	12	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10
101		qssre 11798	. . . . . . . . . . 11
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . 10
103	100, 102	fssd 6057	. . . . . . . . 9
104	103	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
105	104	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		elmapi 7879	. . . . . . . . 9
107	101	a1i 11	. . . . . . . . 9
108	106, 107	fssd 6057	. . . . . . . 8
109	108	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	35	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 $/\$
112	111	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
113	112	adantll 750	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	70	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 $/\$
115	114	adantll 750	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
116	115	adantll 750	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	96, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116	hoiqssbllem1 40836	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		simpl 473	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	121, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
123	122	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13
124	119, 123	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12
125	124	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11
126	125	biimpi 206	. . . . . . . . . 10
127	126	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
129	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	120, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
131	130	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13
132	128, 131	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12
133	132	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11
134	133	biimpi 206	. . . . . . . . . 10
135	134	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
136	127, 135	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
137	136	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138		nfv 1843	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	104	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	108	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	125, 111	sylanbr 490	. . . . . . . . . 10 $/\$
146	145	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
147	146	adantll 750	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	133, 114	sylanbr 490	. . . . . . . . . 10 $/\$
149	148	adantll 750	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
150	149	adantll 750	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150	hoiqssbllem2 40837	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ℝ^
152	118, 137, 151	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ℝ^
153	117, 152	jca 554	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ℝ^
154	153	ex 450	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ℝ^
155	154	reximdva 3017	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ ℝ^
156	155	reximdva 3017	. 2 $/\$ $/\$ ℝ^
157	93, 156	mpd 15	1 $/\$ ℝ^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cixp 7908

cfn 7955

cr 9935

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cq 11788

crp 11832

cioo 12175

cico 12177

chash 13117

csqrt 13973

cds 15950

cbl 19733 ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-prds 16108 df-pws 16110 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-subg 17591 df-ghm 17658 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-field 18750 df-subrg 18778 df-staf 18845 df-srng 18846 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-cnfld 19747 df-refld 19951 df-dsmm 20076 df-frlm 20091 df-nm 22387 df-tng 22389 df-tch 22969 df-rrx 23173

This theorem is referenced by: hoiqssbl 40839

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