qndenserrnbllem - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem qndenserrnbllem 40514

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
qndenserrnbllem.i
qndenserrnbllem.n
qndenserrnbllem.x
qndenserrnbllem.d	ℝ^
qndenserrnbllem.e

**Assertion**
Ref	Expression
qndenserrnbllem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem qndenserrnbllem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrnbllem.i	. . . 4
2		inss1 3833	. . . . . 6
3		qex 11800	. . . . . 6
4		ssexg 4804	. . . . . 6 $/\$
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5
6	5	a1i 11	. . . 4 $/\$
7		qndenserrnbllem.x	. . . . . . . . . . . 12
8		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$
13	12	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$
14		qndenserrnbllem.e	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
17		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
19		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
22	18, 21	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	22	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
24		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
25	22	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
26	24, 23, 25	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
27	23, 26	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . 11 $/\$
28	23, 25	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
29	28	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30	24, 29	gtned 10172	. . . . . . . . . . 11 $/\$
31	16, 27, 30	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 $/\$
32	12, 31	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$
33	32	rexrd 10089	. . . . . . . 8 $/\$
34	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
35	27, 29	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	34, 35	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 $/\$
37	12, 36	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 $/\$
38		qbtwnxr 12031	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
39	13, 33, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
40		df-rex 2918	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
41	39, 40	sylib 208	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
42		simprl 794	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		qre 11793	. . . . . . . . . . 11
46	45	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		simprrr 805	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43, 44, 46, 47, 48	eliood 39720	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	42, 49	elind 3798	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
52	51	eximdv 1846	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
53	41, 52	mpd 15	. . . . 5 $/\$
54		n0 3931	. . . . 5
55	53, 54	sylibr 224	. . . 4 $/\$
56	1, 6, 55	choicefi 39392	. . 3 $/\$
57	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
58	57	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11
59	58	ralimdv 2963	. . . . . . . . . 10
60	59	imdistani 726	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
61		ffnfv 6388	. . . . . . . . 9 $/\$
62	60, 61	sylibr 224	. . . . . . . 8 $/\$
63	62	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
64	3	a1i 11	. . . . . . . . 9
65		elmapg 7870	. . . . . . . . 9 $/\$
66	64, 1, 65	syl2anc 693	. . . . . . . 8
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
68	63, 67	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69		reex 10027	. . . . . . . . . . 11
70	45	ssriv 3607	. . . . . . . . . . 11
71		mapss 7900	. . . . . . . . . . 11 $/\$
72	69, 70, 71	mp2an 708	. . . . . . . . . 10
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
74	73, 68	sseldd 3604	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
75	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
76		qndenserrnbllem.n	. . . . . . . . . . 11
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
78		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
79	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
80		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84	82, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85	84	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86	81, 85	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87	86	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	87	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
90		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
92	89, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
93	92	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
94		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . 13
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
96		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
97	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
99		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
100	99	elioored 39776	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
101	98	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
102	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
103	76, 20	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
104	103	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
106		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
107	103	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108	106, 104, 107	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
110	105, 109	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
111		sqrtgt0 13999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
112	104, 107, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113	106, 112	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
115	102, 110, 114	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
116	97, 115	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	116	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
118	117	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
119		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
120	101, 118, 99, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	98, 100, 120	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
122	98, 100, 121	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
123	116	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
124		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
125	101, 118, 99, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
126	100, 123, 98, 125	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	98	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
128	104, 108	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129	15, 128, 113	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
130	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16
131	130	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
132	127, 131	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
133	126, 132	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
134	122, 133	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
135	80, 95, 96, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
136	135	adantlrl 756	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
137	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
138	104, 107	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
140	139	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
141	137, 140	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
142		qndenserrnbllem.d	. . . . . . . . . 10 ℝ^
143	75, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142	rrndistlt 40510	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
144	137	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
145	139	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
146	145	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147	140	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
148	144, 146, 147	divcan2d 10803	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
149	143, 148	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
150	74, 149	jca 554	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
151	142	rrxmetfi 40507	. . . . . . . . . . 11
152	1, 151	syl 17	. . . . . . . . . 10
153		metxmet 22139	. . . . . . . . . 10
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . 9
155	15	rexrd 10089	. . . . . . . . 9
156		elbl 22193	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
157	154, 7, 155, 156	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$
158	157	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
159	150, 158	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
160	68, 159	jca 554	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
161	160	ex 450	. . . 4 $/\$ $/\$
162	161	eximdv 1846	. . 3 $/\$ $/\$
163	56, 162	mpd 15	. 2 $/\$
164		df-rex 2918	. 2 $/\$
165	163, 164	sylibr 224	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmap 7857

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cq 11788

crp 11832

cioo 12175

chash 13117

csqrt 13973

cabs 13974

cds 15950

cxmt 19731

cme 19732

cbl 19733 ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-prds 16108 df-pws 16110 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-subg 17591 df-ghm 17658 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-field 18750 df-subrg 18778 df-staf 18845 df-srng 18846 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-cnfld 19747 df-refld 19951 df-dsmm 20076 df-frlm 20091 df-nm 22387 df-tng 22389 df-tch 22969 df-rrx 23173

This theorem is referenced by: qndenserrnbl 40515

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