Theorem abelth 24195

Description: Abel's theorem. If the power series sum_ n e. NN0 A ( n ) ( x ^ n ) is convergent at 1, then it is equal to the limit from "below", along a Stolz angle S (note that the M = 1 case of a Stolz angle is the real line [ 0 , 1 ]). (Continuity on S \ { 1 } follows more generally from psercn 24180.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelth	|- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, n, z, M   A, n, x, z   ph, n, x   S, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, n)

Proof of Theorem abelth

Dummy variables j w y r t v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
2		abelth.2	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
3		abelth.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
4		abelth.4	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ M )
5		abelth.5	. . . 4 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
6		abelth.6	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 24188	. . 3 |- ( ph -> F : S --> CC )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem9 24194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < r ) )
9	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 24186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. S )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> 1 e. S )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> y e. S )
13	11, 12	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) = ( 1 ( abs o. - ) y ) )
14		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
15		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } C_ CC
16	5, 15	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S C_ CC
17	16, 12	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> y e. CC )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
19	18	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( 1 - y ) ) )
20	14, 17, 19	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( 1 ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( 1 - y ) ) )
21	13, 20	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) = ( abs ` ( 1 - y ) ) )
22	21	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w <-> ( abs ` ( 1 - y ) ) < w ) )
23	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> F : S --> CC )
24	23, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( F ` 1 ) e. CC )
25	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : S --> CC )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( F ` y ) e. CC )
27	18	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` 1 ) e. CC /\ ( F ` y ) e. CC ) -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) = ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) )
28	24, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) = ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) )
29	28	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r <-> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < r ) )
30	22, 29	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. S ) -> ( ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) <-> ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < r ) ) )
31	30	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. S ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) <-> A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < r ) ) )
32	31	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. w e. RR+ A. y e. S ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) <-> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( abs ` ( 1 - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` 1 ) - ( F ` y ) ) ) < r ) ) )
33	8, 32	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. w e. RR+ A. y e. S ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. w e. RR+ A. y e. S ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) )
35		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
36		xmetres2 22166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
37	35, 16, 36	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
39	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
42	41	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) )
44	40, 42, 43	metrest 22329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) )
45	35, 16, 44	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) )
46	45, 42	metcnp 22346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. S ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` 1 ) <-> ( F : S --> CC /\ A. r e. RR+ E. w e. RR+ A. y e. S ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) ) ) )
47	38, 39, 10, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` 1 ) <-> ( F : S --> CC /\ A. r e. RR+ E. w e. RR+ A. y e. S ( ( 1 ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) y ) < w -> ( ( F ` 1 ) ( abs o. - ) ( F ` y ) ) < r ) ) ) )
48	7, 34, 47	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` 1 ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ y = 1 ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` 1 ) )
50		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ y = 1 ) -> y = 1 )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ y = 1 ) -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` 1 ) )
52	49, 51	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ y = 1 ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
53		eldifsn 4317	. . . . . . 7 |- ( y e. ( S \ { 1 } ) <-> ( y e. S /\ y =/= 1 ) )
54	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
55		abscl 14018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. CC -> ( abs ` w ) e. RR )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( abs ` w ) e. RR )
57	56	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( abs ` w ) < 1 -> ( abs ` w ) e. RR ) )
58		absge0 14027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. CC -> 0 <_ ( abs ` w ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` w ) )
60	59	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( abs ` w ) < 1 -> 0 <_ ( abs ` w ) ) )
61	1, 2	abelthlem1 24185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 1 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> 1 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
63	56	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( abs ` w ) e. RR* )
64		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
65		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
66	64, 65	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> 1 e. RR* )
67		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) = ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
70	68, 1, 69	radcnvcl 24171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
71	67, 70	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* )
73		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( abs ` w ) e. RR* /\ 1 e. RR* /\ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( ( abs ` w ) < 1 /\ 1 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) -> ( abs ` w ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) )
74	63, 66, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( ( abs ` w ) < 1 /\ 1 <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) -> ( abs ` w ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) )
75	62, 74	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( abs ` w ) < 1 -> ( abs ` w ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) )
76	57, 60, 75	3jcad 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( abs ` w ) < 1 -> ( ( abs ` w ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` w ) /\ ( abs ` w ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
77		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. CC
78	18	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. CC /\ w e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( 0 - w ) ) )
79	77, 78	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) w ) = ( abs ` ( 0 - w ) ) )
80		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. CC /\ w e. CC ) -> ( abs ` ( 0 - w ) ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) )
81	77, 80	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. CC -> ( abs ` ( 0 - w ) ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) )
82		subid1 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. CC -> ( w - 0 ) = w )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. CC -> ( abs ` ( w - 0 ) ) = ( abs ` w ) )
84	79, 81, 83	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) w ) = ( abs ` w ) )
85	84	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. CC -> ( ( 0 ( abs o. - ) w ) < 1 <-> ( abs ` w ) < 1 ) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( 0 ( abs o. - ) w ) < 1 <-> ( abs ` w ) < 1 ) )
87		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. RR
88		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e. RR /\ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( abs ` w ) e. ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) <-> ( ( abs ` w ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` w ) /\ ( abs ` w ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
89	87, 72, 88	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( abs ` w ) e. ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) <-> ( ( abs ` w ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` w ) /\ ( abs ` w ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
90	76, 86, 89	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. CC ) -> ( ( 0 ( abs o. - ) w ) < 1 -> ( abs ` w ) e. ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
91	90	imdistanda 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( w e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) w ) < 1 ) -> ( w e. CC /\ ( abs ` w ) e. ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) ) )
92	64	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR*
93		elbl 22193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ 1 e. RR* ) -> ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( w e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) w ) < 1 ) ) )
94	35, 77, 92, 93	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( w e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) w ) < 1 ) )
95		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- abs : CC --> RR
96		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
97		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs Fn CC -> ( w e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) <-> ( w e. CC /\ ( abs ` w ) e. ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) ) )
98	95, 96, 97	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) <-> ( w e. CC /\ ( abs ` w ) e. ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
99	91, 94, 98	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) -> w e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) ) )
100	99	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) C_ ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
101	54, 100	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) )
102	101	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) ) = ( x e. ( S \ { 1 } ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
103	6	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F |` ( S \ { 1 } ) ) = ( ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) )
104		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S \ { 1 } ) C_ S
105		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S \ { 1 } ) C_ S -> ( ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) ) = ( x e. ( S \ { 1 } ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) ) = ( x e. ( S \ { 1 } ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
107	103, 106	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F |` ( S \ { 1 } ) ) = ( x e. ( S \ { 1 } ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
108	102, 107	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) ) = ( F |` ( S \ { 1 } ) ) )
109		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) C_ dom abs
110	95	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom abs = CC
111	109, 110	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) C_ CC
112	111	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) -> x e. CC )
113	68	pserval2 24165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` x ) ` j ) = ( ( A ` j ) x. ( x ^ j ) ) )
114	113	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> sum_ j e. NN0 ( ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` x ) ` j ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ` j ) x. ( x ^ j ) ) )
115		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
116		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = j -> ( x ^ n ) = ( x ^ j ) )
117	115, 116	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = j -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` j ) x. ( x ^ j ) ) )
118	117	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ` j ) x. ( x ^ j ) )
119	114, 118	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ j e. NN0 ( ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` x ) ` j ) )
120	112, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ j e. NN0 ( ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` x ) ` j ) )
121	120	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) = ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ j e. NN0 ( ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` x ) ` j ) )
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) = ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) )
123		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR , ( ( ( abs ` v ) + sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) / 2 ) , ( ( abs ` v ) + 1 ) ) = if ( sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR , ( ( ( abs ` v ) + sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) / 2 ) , ( ( abs ` v ) + 1 ) )
124	68, 121, 1, 69, 122, 123	psercn 24180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) e. ( ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) -cn-> CC ) )
125		rescncf 22700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S \ { 1 } ) C_ ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) -> ( ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) e. ( ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) -cn-> CC ) -> ( ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( S \ { 1 } ) -cn-> CC ) ) )
126	101, 124, 125	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( x e. ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( t e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( t ^ n ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) ) ) |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( S \ { 1 } ) -cn-> CC ) )
127	108, 126	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( S \ { 1 } ) -cn-> CC ) )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( S \ { 1 } ) -cn-> CC ) )
129	104, 16	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S \ { 1 } ) C_ CC
130		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
131		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) )
132	41	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
133	41	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
134	133	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
135	134	restid 16094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
136	132, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
137	136	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
138	41, 131, 137	cncfcn 22712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S \ { 1 } ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( S \ { 1 } ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
139	129, 130, 138	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S \ { 1 } ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
140	128, 139	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
141		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> y e. ( S \ { 1 } ) )
142		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( S \ { 1 } ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) e. (TopOn ` ( S \ { 1 } ) ) )
143	133, 129, 142	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) e. (TopOn ` ( S \ { 1 } ) )
144	143	toponunii 20721	. . . . . . . . . . 11 |- ( S \ { 1 } ) = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) )
145	144	cncnpi 21082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
146	140, 141, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
147		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
148	147, 16	ssexi 4803	. . . . . . . . . . . 12 |- S e. _V
149		restabs 20969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( S \ { 1 } ) C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) )
150	132, 104, 148, 149	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) )
151	150	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) )
152	151	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y )
153	146, 152	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
154		resttop 20964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
155	132, 148, 154	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top
156	155	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top )
157	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( S \ { 1 } ) C_ S )
158	10	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { 1 } C_ S )
159	41	cnfldhaus 22588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Haus
160	134	sncld 21175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Haus /\ 1 e. CC ) -> { 1 } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
161	159, 14, 160	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { 1 } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) )
162	134	restcldi 20977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ { 1 } e. ( Clsd ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) /\ { 1 } C_ S ) -> { 1 } e. ( Clsd ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) )
163	16, 161, 162	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 1 } C_ S -> { 1 } e. ( Clsd ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) )
164	134	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC ) -> S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
165	132, 16, 164	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = U. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
166	165	cldopn 20835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 1 } e. ( Clsd ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) -> ( S \ { 1 } ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
167	158, 163, 166	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
168	165	isopn3 20870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ ( S \ { 1 } ) C_ S ) -> ( ( S \ { 1 } ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( S \ { 1 } ) ) = ( S \ { 1 } ) ) )
169	155, 104, 168	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S \ { 1 } ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) <-> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( S \ { 1 } ) ) = ( S \ { 1 } ) )
170	167, 169	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( S \ { 1 } ) ) = ( S \ { 1 } ) )
171	170	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( S \ { 1 } ) ) <-> y e. ( S \ { 1 } ) ) )
172	171	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> y e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( S \ { 1 } ) ) )
173	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> F : S --> CC )
174	165, 134	cnprest 21093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. Top /\ ( S \ { 1 } ) C_ S ) /\ ( y e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` ( S \ { 1 } ) ) /\ F : S --> CC ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) <-> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) )
175	156, 157, 172, 173, 174	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) <-> ( F |` ( S \ { 1 } ) ) e. ( ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ↾t ( S \ { 1 } ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) )
176	153, 175	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( S \ { 1 } ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
177	53, 176	sylan2br 493	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. S /\ y =/= 1 ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
178	177	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. S ) /\ y =/= 1 ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
179	52, 178	pm2.61dane 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
180	179	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. S F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) )
181		resttopon 20965	. . . . 5 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
182	133, 16, 181	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S )
183		cncnp 21084	. . . 4 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : S --> CC /\ A. y e. S F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) ) )
184	182, 133, 183	mp2an 708	. . 3 |- ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : S --> CC /\ A. y e. S F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` y ) ) )
185	7, 180, 184	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
186		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
187	41, 186, 137	cncfcn 22712	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( S -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
188	16, 130, 187	mp2an 708	. 2 |- ( S -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
189	185, 188	syl6eleqr 2712	1 |- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   Hauscha 21112   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  abelth2  24196