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Theorem dvrec 23718

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrec	$\$ $\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrec Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 23672	. . . 4 $\$ $\$
2		ssid 3624	. . . . . . . 8
3	2	a1i 11	. . . . . . 7
4		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$
5		divcl 10691	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
6	5	3expb 1266	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
7	4, 6	sylan2b 492	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
8		eqid 2622	. . . . . . . 8 $\$ $\$
9	7, 8	fmptd 6385	. . . . . . 7 $\$ $\$
10		difssd 3738	. . . . . . 7 $\$
11	3, 9, 10	dvbss 23665	. . . . . 6 $\$ $\$
12		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ℂ_fld
14	13	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld
15	13	cnfldhaus 22588	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld
16		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . 14
17	13	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ_fld TopOn
18	17	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ_fld
19	18	sncld 21175	. . . . . . . . . . . . . 14 ℂ_fld $/\$ ℂ_fld
20	15, 16, 19	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld
21	18	cldopn 20835	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld $\$ ℂ_fld
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 $\$ ℂ_fld
23		isopn3i 20886	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld $/\$ $\$ ℂ_fld ℂ_fld $\$ $\$
24	14, 22, 23	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld $\$ $\$
25	12, 24	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ ℂ_fld $\$
26		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$
28	27	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
30		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
31		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
33	30, 27, 27, 32, 32	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
34	29, 33	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
35	34	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
36	30, 27, 32	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
37	36, 27, 32	divnegd 10814	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
38	35, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
39	36	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
41	40	cdivcncf 22720	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$ $\$
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
44	42, 12, 43	cnmptlimc 23654	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ lim
45	38, 44	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$ lim
46		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$ $\$
48	47	limcdif 23640	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ lim $\$ $\$ $\$ lim
49		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$ $\$
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
51	50	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
52	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
53	51, 52	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
54	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
55		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
57	54, 51, 56	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
58		mulneg12 10468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
59	53, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
60	52, 51, 57	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
61	51, 52	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
64		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65	63, 8, 64	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
66	50, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
67		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
68	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
69	67, 52, 68	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
71	52, 54, 51, 56	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
72	66, 70, 71	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
73		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
74		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
75	73, 8, 74	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
76	75	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
77	54, 51, 56	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
78	76, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
79	72, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
80	60, 62, 79	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
81	54, 51, 56	divnegd 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
83	59, 80, 82	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
85	54	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
86	85, 51, 56	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
87		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
89	51, 52, 88	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
90	86, 53, 89	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
91	84, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
92	91	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
93		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$
94		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
96	92, 95	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ lim $\$ $\$ $\$ lim
98	48, 97	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$ lim $\$ $\$ $\$ $\$ lim
99	45, 98	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ lim
100	18	restid 16094	. . . . . . . . . . . . 13 ℂ_fld ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
101	14, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ℂ_fld ↾_t ℂ_fld
102	101	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 ℂ_fld ℂ_fld ↾_t
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
104	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
105	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$ $\$
106		difssd 3738	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$
107	102, 13, 103, 104, 105, 106	eldv 23662	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ ℂ_fld $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ lim
108	25, 99, 107	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$
109		vex 3203	. . . . . . . . . 10
110		negex 10279	. . . . . . . . . 10
111	109, 110	breldm 5329	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
112	108, 111	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
113	112	ex 450	. . . . . . 7 $\$ $\$
114	113	ssrdv 3609	. . . . . 6 $\$ $\$
115	11, 114	eqssd 3620	. . . . 5 $\$ $\$
116	115	feq2d 6031	. . . 4 $\$ $\$ $\$ $\$
117	1, 116	mpbii 223	. . 3 $\$ $\$
118		ffn 6045	. . 3 $\$ $\$ $\$ $\$
119	117, 118	syl 17	. 2 $\$ $\$
120		negex 10279	. . . 4
121	120	rgenw 2924	. . 3 $\$
122		eqid 2622	. . . 4 $\$ $\$
123	122	fnmpt 6020	. . 3 $\$ $\$ $\$
124	121, 123	mp1i 13	. 2 $\$ $\$
125		ffun 6048	. . . . 5 $\$ $\$ $\$
126	1, 125	mp1i 13	. . . 4 $/\$ $\$ $\$
127		funbrfv 6234	. . . 4 $\$ $\$ $\$
128	126, 108, 127	sylc 65	. . 3 $/\$ $\$ $\$
129		oveq1 6657	. . . . . . 7
130	129	oveq2d 6666	. . . . . 6
131	130	negeqd 10275	. . . . 5
132	131, 122, 110	fvmpt 6282	. . . 4 $\$ $\$
133	132	adantl 482	. . 3 $/\$ $\$ $\$
134	128, 133	eqtr4d 2659	. 2 $/\$ $\$ $\$ $\$
135	119, 124, 134	eqfnfvd 6314	1 $\$ $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

cres 5116

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cexp 12860 ↾_t crest 16081

ctopn 16082 ℂ_fldccnfld 19746

ctop 20698

ccld 20820

cnt 20821

cha 21112

ccncf 22679 lim

climc 23626

cdv 23627

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-t1 21118 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: dvrecg 23736 dvexp3 23741 dvtan 33460

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