Theorem climle 14370

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climle.5	|- ( ph -> G ~~> B )
climle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
climle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   B, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Proof of Theorem climle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climle.5	. . . 4 |- ( ph -> G ~~> B )
4		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- Z e. _V
6	5	mptex 6486	. . . . 5 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V )
8		climadd.4	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
9		climle.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
10	9	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
11		climle.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
15	13, 14	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) = ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) )
17		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. _V
18	15, 16, 17	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( k e. Z -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
19	18	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
20	1, 2, 3, 7, 8, 10, 12, 19	climsub 14364	. . 3 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ~~> ( B - A ) )
21	9, 11	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR )
22	19, 21	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) e. RR )
23		climle.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
24	9, 11	subge0d 10617	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) ) )
25	23, 24	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
26	25, 19	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) )
27	1, 2, 20, 22, 26	climge0 14315	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( B - A ) )
28	1, 2, 3, 9	climrecl 14314	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
29	1, 2, 8, 11	climrecl 14314	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
30	28, 29	subge0d 10617	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
31	27, 30	mpbid 222	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  climlec2  14389  iserle  14390  iseraltlem1  14412  iserabs  14547  cvgcmpub  14549  itg2monolem1  23517  ulmdvlem1  24154  dchrisumlema  25177  dchrisumlem3  25180  stirlinglem10  40300