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Theorem ulmdvlem1 24154
Description: Lemma for ulmdv 24157. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
ulmdv.s |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
ulmdv.m |- ( ph -> M e. ZZ )
ulmdv.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m X ) )
ulmdv.g |- ( ph -> G : X --> CC )
ulmdv.l |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
ulmdv.u |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H )
ulmdvlem1.c |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. X )
ulmdvlem1.r |- ( ( ph /\ ps ) -> R e. RR+ )
ulmdvlem1.u |- ( ( ph /\ ps ) -> U e. RR+ )
ulmdvlem1.v |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. RR+ )
ulmdvlem1.l |- ( ( ph /\ ps ) -> U < W )
ulmdvlem1.b |- ( ( ph /\ ps ) -> ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) C_ X )
ulmdvlem1.a |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( Y - C ) ) < U )
ulmdvlem1.n |- ( ( ph /\ ps ) -> N e. Z )
ulmdvlem1.1 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. m e. ( ZZ>= ` N ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
ulmdvlem1.2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) - ( H ` C ) ) ) < ( R / 2 ) )
ulmdvlem1.y |- ( ( ph /\ ps ) -> Y e. X )
ulmdvlem1.3 |- ( ( ph /\ ps ) -> Y =/= C )
ulmdvlem1.4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` ( Y - C ) ) < W -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmdvlem1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( H ` C ) ) ) < R )
Distinct variable groups:   k, m, x, z, F   z, G   k, N, m, x   C, k, z   z, H   k, M, x   ph, k, m, x, z   S, k, m, x, z   R, m, x   k, X, m, x, z   k, Y, z   k, Z, m, x, z
Allowed substitution hints:   ps( x, z, k, m)   C( x, m)   R( z, k)   U( x, z, k, m)   G( x, k, m)   H( x, k, m)   M( z, m)   N( z)   W( x, z, k, m)   Y( x, m)
Proof of Theorem ulmdvlem1
Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmdv.g . . . . . 6 |- ( ph -> G : X --> CC )
21adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> G : X --> CC )
3 ulmdvlem1.y . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> Y e. X )
42, 3ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( G ` Y ) e. CC )
5 ulmdvlem1.c . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. X )
62, 5ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( G ` C ) e. CC )
74, 6subcld 10392 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) e. CC )
8 ulmdvlem1.n . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> N e. Z )
9 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
109oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = N -> ( S _D ( F ` k ) ) = ( S _D ( F ` N ) ) )
11 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) = ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) )
12 ovex 6678 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S _D ( F ` N ) ) e. _V
1310, 11, 12fvmpt 6282 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` N ) = ( S _D ( F ` N ) ) )
148, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` N ) = ( S _D ( F ` N ) ) )
15 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S _D ( F ` k ) ) e. _V
1615rgenw 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 |- A. k e. Z ( S _D ( F ` k ) ) e. _V
1711fnmpt 6020 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. Z ( S _D ( F ` k ) ) e. _V -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) Fn Z )
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) Fn Z )
19 ulmdv.u . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H )
20 ulmf2 24138 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) Fn Z /\ ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
2118, 19, 20syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
2221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
2322, 8ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` N ) e. ( CC ^m X ) )
2414, 23eqeltrrd 2702 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( S _D ( F ` N ) ) e. ( CC ^m X ) )
25 elmapi 7879 . . . . . . . . 9 |- ( ( S _D ( F ` N ) ) e. ( CC ^m X ) -> ( S _D ( F ` N ) ) : X --> CC )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( S _D ( F ` N ) ) : X --> CC )
27 fdm 6051 . . . . . . . 8 |- ( ( S _D ( F ` N ) ) : X --> CC -> dom ( S _D ( F ` N ) ) = X )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> dom ( S _D ( F ` N ) ) = X )
29 dvbsss 23666 . . . . . . 7 |- dom ( S _D ( F ` N ) ) C_ S
3028, 29syl6eqssr 3656 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> X C_ S )
31 ulmdv.s . . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
32 recnprss 23668 . . . . . . . 8 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
3433adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> S C_ CC )
3530, 34sstrd 3613 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> X C_ CC )
3635, 3sseldd 3604 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> Y e. CC )
3735, 5sseldd 3604 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. CC )
3836, 37subcld 10392 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y - C ) e. CC )
39 ulmdvlem1.3 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> Y =/= C )
4036, 37, 39subne0d 10401 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y - C ) =/= 0 )
417, 38, 40divcld 10801 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) e. CC )
42 ulmcl 24135 . . . . 5 |- ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H -> H : X --> CC )
4319, 42syl 17 . . . 4 |- ( ph -> H : X --> CC )
4443adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> H : X --> CC )
4544, 5ffvelrnd 6360 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( H ` C ) e. CC )
4626, 5ffvelrnd 6360 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) e. CC )
47 ulmdvlem1.r . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> R e. RR+ )
4847rpred 11872 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> R e. RR )
4941, 46subcld 10392 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) e. CC )
5049abscld 14175 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) e. RR )
51 ulmdv.f . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m X ) )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> F : Z --> ( CC ^m X ) )
5352, 8ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F ` N ) e. ( CC ^m X ) )
54 elmapi 7879 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` N ) e. ( CC ^m X ) -> ( F ` N ) : X --> CC )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F ` N ) : X --> CC )
5655, 3ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( F ` N ) ` Y ) e. CC )
5755, 5ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( F ` N ) ` C ) e. CC )
5856, 57subcld 10392 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) e. CC )
5958, 38, 40divcld 10801 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) e. CC )
6041, 59subcld 10392 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) e. CC )
6160abscld 14175 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) e. RR )
6259, 46subcld 10392 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) e. CC )
6362abscld 14175 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) e. RR )
6461, 63readdcld 10069 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) + ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) ) e. RR )
6548rehalfcld 11279 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R / 2 ) e. RR )
6641, 46, 59abs3difd 14199 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) + ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) ) )
6765rehalfcld 11279 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( R / 2 ) / 2 ) e. RR )
684, 56, 6, 57sub4d 10441 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) = ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) - ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
6968oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) / ( Y - C ) ) = ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) - ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) / ( Y - C ) ) )
707, 58, 38, 40divsubdird 10840 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) - ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) / ( Y - C ) ) = ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) )
7169, 70eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) / ( Y - C ) ) = ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) )
7271fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) / ( Y - C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) )
734, 56subcld 10392 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) e. CC )
746, 57subcld 10392 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) e. CC )
7573, 74subcld 10392 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) e. CC )
7675, 38, 40absdivd 14194 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) / ( Y - C ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) / ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
7772, 76eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) / ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
78 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
79 ulmdv.z . . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
808, 79syl6eleq 2711 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
81 eluzelz 11697 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> N e. ZZ )
83 ulmdv.m . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
8483adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
85 ulmdv.l . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
8685ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. X ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. z e. X ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) )
88 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = Y -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` Y ) )
8988mpteq2dv 4745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = Y -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) = ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) )
90 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = Y -> ( G ` z ) = ( G ` Y ) )
9189, 90breq12d 4666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Y -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) <-> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ~~> ( G ` Y ) ) )
9291rspcv 3305 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. X -> ( A. z e. X ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ~~> ( G ` Y ) ) )
933, 87, 92sylc 65 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ~~> ( G ` Y ) )
94 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
9579, 94eqeltri 2697 . . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. _V
9695mptex 6486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) e. _V
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) e. _V )
98 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
9998fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` Y ) = ( ( F ` n ) ` Y ) )
100 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) = ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) )
101 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) ` Y ) e. _V
10299, 100, 101fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ` n ) = ( ( F ` n ) ` Y ) )
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ` n ) = ( ( F ` n ) ` Y ) )
10452ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m X ) )
105 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m X ) -> ( F ` n ) : X --> CC )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : X --> CC )
1073adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> Y e. X )
108106, 107ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` Y ) e. CC )
109103, 108eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ` n ) e. CC )
11099oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) = ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
111 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) = ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
112 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) e. _V
113110, 111, 112fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ` n ) = ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
114113adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ` n ) = ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
115103oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ` n ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) = ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
116114, 115eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ` n ) = ( ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` Y ) ) ` n ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
11779, 84, 93, 56, 97, 109, 116climsubc1 14368 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ~~> ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
11895mptex 6486 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) e. _V
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) e. _V )
120 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = C -> ( ( F ` k ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` C ) )
121120mpteq2dv 4745 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = C -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) = ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) )
122 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = C -> ( G ` z ) = ( G ` C ) )
123121, 122breq12d 4666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = C -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) <-> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ~~> ( G ` C ) ) )
124123rspcv 3305 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. X -> ( A. z e. X ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) ~~> ( G ` z ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ~~> ( G ` C ) ) )
1255, 87, 124sylc 65 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ~~> ( G ` C ) )
12695mptex 6486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) e. _V
127126a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) e. _V )
12898fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` C ) = ( ( F ` n ) ` C ) )
129 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) = ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) )
130 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) ` C ) e. _V
131128, 129, 130fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ` n ) = ( ( F ` n ) ` C ) )
132131adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ` n ) = ( ( F ` n ) ` C ) )
1335adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> C e. X )
134106, 133ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` C ) e. CC )
135132, 134eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ` n ) e. CC )
136128oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) = ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
137 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) = ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
138 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) e. _V
139136, 137, 138fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ` n ) = ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
140139adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ` n ) = ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
141132oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ` n ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) = ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
142140, 141eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ` n ) = ( ( ( k e. Z |-> ( ( F ` k ) ` C ) ) ` n ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
14379, 84, 125, 57, 127, 135, 142climsubc1 14368 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ~~> ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
14456adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` N ) ` Y ) e. CC )
145108, 144subcld 10392 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) e. CC )
146114, 145eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ` n ) e. CC )
14757adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` N ) ` C ) e. CC )
148134, 147subcld 10392 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) e. CC )
149140, 148eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ` n ) e. CC )
150110, 136oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
151 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) = ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
152 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) e. _V
153150, 151, 152fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ` n ) = ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
154153adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ` n ) = ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
155114, 140oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ` n ) - ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ` n ) ) = ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
156154, 155eqtr4d 2659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ` n ) = ( ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) ) ` n ) - ( ( k e. Z |-> ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ` n ) ) )
15779, 84, 117, 119, 143, 146, 149, 156climsub 14364 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ~~> ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
15895mptex 6486 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) e. _V
159158a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) e. _V )
160145, 148subcld 10392 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) e. CC )
161154, 160eqeltrd 2701 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ` n ) e. CC )
162150fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
163 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) = ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
164 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) e. _V
165162, 163, 164fvmpt 6282 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
166165adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
167154fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( abs ` ( ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
168166, 167eqtr4d 2659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( k e. Z |-> ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ` n ) ) )
16979, 157, 159, 84, 161, 168climabs 14334 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ~~> ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
17038abscld 14175 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( Y - C ) ) e. RR )
17167, 170remulcld 10070 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) e. RR )
172171recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) e. CC )
17379eqimss2i 3660 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) C_ Z
174173, 95climconst2 14279 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) e. CC /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) } ) ~~> ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
175172, 84, 174syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Z X. { ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) } ) ~~> ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
17679uztrn2 11705 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. Z )
1778, 176sylan 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. Z )
178177, 165syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
179160abscld 14175 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. Z ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) e. RR )
180177, 179syldan 487 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) e. RR )
181178, 180eqeltrd 2701 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ` n ) e. RR )
182 ovex 6678 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) e. _V
183182fvconst2 6469 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. Z -> ( ( Z X. { ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) } ) ` n ) = ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
184177, 183syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( Z X. { ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) } ) ` n ) = ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
185171adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) e. RR )
186184, 185eqeltrd 2701 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( Z X. { ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) } ) ` n ) e. RR )
187177, 106syldan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` n ) : X --> CC )
188 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) : X --> CC -> ( F ` n ) Fn X )
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` n ) Fn X )
19055adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) : X --> CC )
191 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` N ) : X --> CC -> ( F ` N ) Fn X )
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) Fn X )
193 ulmscl 24133 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ( ~~> u ` X ) H -> X e. _V )
19419, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. _V )
195194ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. _V )
1963adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> Y e. X )
197 fnfvof 6911 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` n ) Fn X /\ ( F ` N ) Fn X ) /\ ( X e. _V /\ Y e. X ) ) -> ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` Y ) = ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
198189, 192, 195, 196, 197syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` Y ) = ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) )
1995adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> C e. X )
200 fnfvof 6911 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` n ) Fn X /\ ( F ` N ) Fn X ) /\ ( X e. _V /\ C e. X ) ) -> ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` C ) = ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
201189, 192, 195, 199, 200syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` C ) = ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) )
202198, 201oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` Y ) - ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` C ) ) = ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) )
203202fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` Y ) - ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` C ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) )
20430, 3sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> Y e. S )
20530, 5sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. S )
206204, 205ovresd 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) C ) = ( Y ( abs o. - ) C ) )
207 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
208207cnmetdval 22574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. CC /\ C e. CC ) -> ( Y ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( Y - C ) ) )
20936, 37, 208syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( Y - C ) ) )
210206, 209eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) C ) = ( abs ` ( Y - C ) ) )
211 ulmdvlem1.a . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( Y - C ) ) < U )
212210, 211eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) C ) < U )
213 cnxmet 22576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
214 xmetres2 22166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
215213, 34, 214sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) )
216 ulmdvlem1.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> U e. RR+ )
217216rpxrd 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> U e. RR* )
218 elbl3 22197 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) /\ U e. RR* ) /\ ( C e. S /\ Y e. S ) ) -> ( Y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) <-> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) C ) < U ) )
219215, 217, 205, 204, 218syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) <-> ( Y ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) C ) < U ) )
220212, 219mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> Y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) )
221220adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> Y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) )
222 blcntr 22218 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) e. ( *Met ` S ) /\ C e. S /\ U e. RR+ ) -> C e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) )
223215, 205, 216, 222syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> C e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) )
224223adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> C e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) )
225221, 224jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( Y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) /\ C e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) ) )
22631ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> S e. { RR , CC } )
227 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) )
22830adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X C_ S )
229187ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( F ` n ) ` y ) e. CC )
230190ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( F ` N ) ` y ) e. CC )
231229, 230subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) e. CC )
232 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) )
233231, 232fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) ) : X --> CC )
234 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( F ` n ) ` y ) e. _V )
235 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( F ` N ) ` y ) e. _V )
236187feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` n ) = ( y e. X |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) )
237190feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` N ) = ( y e. X |-> ( ( F ` N ) ` y ) ) )
238195, 234, 235, 236, 237offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) = ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) ) )
239238feq1d 6030 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) : X --> CC <-> ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) ) : X --> CC ) )
240233, 239mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) : X --> CC )
241205adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> C e. S )
242217adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> U e. RR* )
243 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) = ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U )
244 ulmdvlem1.b . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) C_ X )
245244adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) C_ X )
246238oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) = ( S _D ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) ) ) )
247 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) e. _V )
248236oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` n ) ) = ( S _D ( y e. X |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) )
24998oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = n -> ( S _D ( F ` k ) ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
250 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S _D ( F ` n ) ) e. _V
251249, 11, 250fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
252177, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
25321ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) : Z --> ( CC ^m X ) )
254253, 177ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( S _D ( F ` k ) ) ) ` n ) e. ( CC ^m X ) )
255252, 254eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` n ) ) e. ( CC ^m X ) )
256 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S _D ( F ` n ) ) e. ( CC ^m X ) -> ( S _D ( F ` n ) ) : X --> CC )
257255, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` n ) ) : X --> CC )
258257feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` n ) ) = ( y e. X |-> ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) )
259248, 258eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( y e. X |-> ( ( F ` n ) ` y ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) )
260 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) e. _V )
261237oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` N ) ) = ( S _D ( y e. X |-> ( ( F ` N ) ` y ) ) ) )
26226adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` N ) ) : X --> CC )
263262feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( F ` N ) ) = ( y e. X |-> ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) )
264261, 263eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( y e. X |-> ( ( F ` N ) ` y ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) )
265226, 229, 247, 259, 230, 260, 264dvmptsub 23730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( y e. X |-> ( ( ( F ` n ) ` y ) - ( ( F ` N ) ` y ) ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) )
266246, 265eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) )
267266dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> dom ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) = dom ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) )
268 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) e. _V
269 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) = ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) )
270268, 269dmmpti 6023 . . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) = X
271267, 270syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> dom ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) = X )
272245, 271sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) C_ dom ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) )
27367adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( R / 2 ) / 2 ) e. RR )
274245sselda 3603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) ) -> y e. X )
275266fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) ` y ) = ( ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) ` y ) )
276269fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. X /\ ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) e. _V ) -> ( ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) ` y ) = ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) )
277268, 276mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. X -> ( ( y e. X |-> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) ` y ) = ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) )
278275, 277sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) ` y ) = ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) )
279278fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) )
280268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) e. _V )
281226, 231, 280, 265dvmptcl 23722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) e. CC )
282281abscld 14175 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) e. RR )
28367ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( R / 2 ) / 2 ) e. RR )
284257ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) e. CC )
285262ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) e. CC )
286284, 285abssubd 14192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) ) )
287 ulmdvlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. m e. ( ZZ>= ` N ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
288 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
289288oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = n -> ( S _D ( F ` m ) ) = ( S _D ( F ` n ) ) )
290289fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = n -> ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) )
291290oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = n -> ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) = ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) )
292291fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = n -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) )
293292breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = n -> ( ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) ) )
294293ralbidv 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) <-> A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) ) )
295294rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. m e. ( ZZ>= ` N ) A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` m ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
296287, 295sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
297 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) = ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) )
298 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) = ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) )
299297, 298oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) = ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) )
300299fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) ) )
301300breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) ) )
302301rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. x e. X ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` x ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` x ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
303296, 302sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
304286, 303eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
305282, 283, 304ltled 10185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` n ) ) ` y ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` y ) ) ) <_ ( ( R / 2 ) / 2 ) )
306279, 305eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. X ) -> ( abs ` ( ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) ` y ) ) <_ ( ( R / 2 ) / 2 ) )
307274, 306syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) ) -> ( abs ` ( ( S _D ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ) ` y ) ) <_ ( ( R / 2 ) / 2 ) )
308226, 227, 228, 240, 241, 242, 243, 272, 273, 307dvlip2 23758 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( Y e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) /\ C e. ( C ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( S X. S ) ) ) U ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` Y ) - ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` C ) ) ) <_ ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
309225, 308mpdan 702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` Y ) - ( ( ( F ` n ) oF - ( F ` N ) ) ` C ) ) ) <_ ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
310203, 309eqbrtrrd 4677 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` n ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` n ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) <_ ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
311310, 178, 1843brtr4d 4685 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( abs ` ( ( ( ( F ` k ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( ( F ` k ) ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) ) ` n ) <_ ( ( Z X. { ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) } ) ` n ) )
31278, 82, 169, 175, 181, 186, 311climle 14370 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) <_ ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) )
31375abscld 14175 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) e. RR )
31438, 40absrpcld 14187 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( Y - C ) ) e. RR+ )
315313, 67, 314ledivmul2d 11926 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) / ( abs ` ( Y - C ) ) ) <_ ( ( R / 2 ) / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) <_ ( ( ( R / 2 ) / 2 ) x. ( abs ` ( Y - C ) ) ) ) )
316312, 315mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` ( ( ( G ` Y ) - ( ( F ` N ) ` Y ) ) - ( ( G ` C ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) ) ) / ( abs ` ( Y - C ) ) ) <_ ( ( R / 2 ) / 2 ) )
31777, 316eqbrtrd 4675 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) <_ ( ( R / 2 ) / 2 ) )
318216rpred 11872 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> U e. RR )
319 ulmdvlem1.v . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. RR+ )
320319rpred 11872 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> W e. RR )
321 ulmdvlem1.l . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> U < W )
322170, 318, 320, 211, 321lttrd 10198 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( Y - C ) ) < W )
323 ulmdvlem1.4 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` ( Y - C ) ) < W -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) ) )
324322, 323mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) < ( ( R / 2 ) / 2 ) )
32561, 63, 67, 67, 317, 324leltaddd 10649 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) + ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) ) < ( ( ( R / 2 ) / 2 ) + ( ( R / 2 ) / 2 ) ) )
32665recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( R / 2 ) e. CC )
3273262halvesd 11278 . . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( R / 2 ) / 2 ) + ( ( R / 2 ) / 2 ) ) = ( R / 2 ) )
328325, 327breqtrd 4679 . . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) ) ) + ( abs ` ( ( ( ( ( F ` N ) ` Y ) - ( ( F ` N ) ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) ) < ( R / 2 ) )
32950, 64, 65, 66, 328lelttrd 10195 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) ) ) < ( R / 2 ) )
330 ulmdvlem1.2 . 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( S _D ( F ` N ) ) ` C ) - ( H ` C ) ) ) < ( R / 2 ) )
33141, 45, 46, 48, 329, 330abs3lemd 14200 1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` ( ( ( ( G ` Y ) - ( G ` C ) ) / ( Y - C ) ) - ( H ` C ) ) ) < R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   _D cdv 23627   ~~> uculm 24130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131
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