Theorem stirlinglem10 40300

Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole B sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem10.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem10.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem10.4	|- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
stirlinglem10.5	|- L = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem10	|- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n   n, K   n, L   k, N, n

Allowed substitution hints:   A( k, n)   B( k, n)   K( k)   L( k)

Proof of Theorem stirlinglem10

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. 2 |- ( N e. NN -> 1 e. ZZ )
3		stirlinglem10.1	. . 3 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
4		stirlinglem10.2	. . 3 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( 1 + ( 2 x. n ) ) / 2 ) x. ( log ` ( ( n + 1 ) / n ) ) ) - 1 ) )
6		stirlinglem10.4	. . 3 |- K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) )
7	3, 4, 5, 6	stirlinglem9 40299	. 2 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , K ) ~~> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) )
8		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
9		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
10	8, 9	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. CC )
11		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
12	10, 11	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
13	12	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. CC )
14		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
15		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
16		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
18		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
19	17, 18	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
20	19, 15	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
21		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
23		2rp 11837	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. RR+ )
25		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
26	24, 25	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
27	15, 26	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
28	14, 15, 20, 22, 27	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
29	28	gt0ne0d 10592	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
30		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
32	12, 29, 31	expne0d 13014	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) =/= 0 )
33	13, 32	reccld 10794	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) e. CC )
34	15	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -u 1 e. RR )
35	20	resqcld 13035	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. RR )
36	35, 32	rereccld 10852	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) e. RR )
37		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
38		lt0neg2 10535	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( 0 < 1 <-> -u 1 < 0 ) )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0 < 1 <-> -u 1 < 0 )
40	22, 39	sylib 208	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> -u 1 < 0 )
41	20, 29	sqgt0d 13037	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
42	35, 41	recgt0d 10958	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 < ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
43	34, 14, 36, 40, 42	lttrd 10198	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -u 1 < ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
44		2nn 11185	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
46		expgt1 12898	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. NN /\ 1 < ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) -> 1 < ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
47	20, 45, 27, 46	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) )
48	35, 41	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
49	48	recgt1d 11886	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 < ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) < 1 ) )
50	47, 49	mpbid 222	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) < 1 )
51	36, 15	absltd 14168	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) /\ ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) < 1 ) ) )
52	43, 50, 51	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) < 1 )
53		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
54	53	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
55		stirlinglem10.5	. . . . . 6 |- L = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) )
56	55	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> L = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
57		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k = j ) -> k = j )
58	57	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k = j ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
59		elnnuz 11724	. . . . . . 7 |- ( j e. NN <-> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	59	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( j e. ( ZZ>= ` 1 ) -> j e. NN )
61	60	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN )
62	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) e. CC )
63	61	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> j e. NN0 )
64	62, 63	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) e. CC )
65	56, 58, 61, 64	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( L ` j ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
66	33, 52, 54, 65	geolim2 14602	. . 3 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , L ) ~~> ( ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) ) )
67	33	exp1d 13003	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 ) = ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
68	13, 32	dividd 10799	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) = 1 )
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) )
71	48	rpcnne0d 11881	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) =/= 0 ) )
72		divsubdir 10721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) )
73	13, 11, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) )
74		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
75		binom2 12979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) + ( 1 ^ 2 ) ) )
76	10, 74, 75	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) + ( 1 ^ 2 ) ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) + ( 1 ^ 2 ) ) - 1 ) )
78	8, 9	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
79		sq2 12960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ 2 ) = 4 )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ 2 ) x. ( N ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
82	78, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) )
83	10	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. N ) x. 1 ) = ( 2 x. N ) )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
85	8, 8, 9	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 2 x. ( 2 x. N ) ) )
86		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. 2 ) = 4
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( 2 x. 2 ) x. N ) = ( 4 x. N ) )
89	84, 85, 88	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) = ( 4 x. N ) )
90	82, 89	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
91		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 4 e. CC )
93	9	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. CC )
94	92, 93, 9	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) = ( ( 4 x. ( N ^ 2 ) ) + ( 4 x. N ) ) )
95	9	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
96	9	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( N x. 1 ) = N )
97	96	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N = ( N x. 1 ) )
98	95, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( N ^ 2 ) + N ) = ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) )
99	9, 9, 11	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N x. ( N + 1 ) ) = ( ( N x. N ) + ( N x. 1 ) ) )
100	98, 99	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( N ^ 2 ) + N ) = ( N x. ( N + 1 ) ) )
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 4 x. ( ( N ^ 2 ) + N ) ) = ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) )
102	90, 94, 101	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) = ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) )
103		sq1 12958	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
105	102, 104	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) + ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) + 1 ) )
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( 2 x. N ) x. 1 ) ) ) + ( 1 ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
107	9, 11	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
108	9, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( N x. ( N + 1 ) ) e. CC )
109	92, 108	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) e. CC )
110	109, 11	pncand 10393	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) )
111	77, 106, 110	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) - 1 ) = ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) )
112	111	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) = ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
113	70, 73, 112	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) )
114	67, 113	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) / ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) )
115		4pos 11116	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 4 )
117	116	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 =/= 0 )
118		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
119	18, 15	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
120		nngt0 11049	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < N )
121	18	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N < ( N + 1 ) )
122	14, 18, 119, 120, 121	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
123	122	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) =/= 0 )
124	9, 107, 118, 123	mulne0d 10679	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N x. ( N + 1 ) ) =/= 0 )
125	92, 108, 117, 124	mulne0d 10679	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) =/= 0 )
126	11, 13, 109, 13, 32, 32, 125	divdivdivd 10848	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) / ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) )
127	11, 13	mulcomd 10061	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. 1 ) )
128	127	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. 1 ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) )
129	11	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
130	129	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 1 = ( 1 x. 1 ) )
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 x. 1 ) / ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
132	11, 92, 11, 108, 117, 124	divmuldivd 10842	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 x. 1 ) / ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
133	131, 132	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
134	68, 133	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) x. ( 1 / ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) )
135	13, 13, 11, 109, 32, 125	divmuldivd 10842	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) x. ( 1 / ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. 1 ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) )
136	92, 117	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. CC )
137	108, 124	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) e. CC )
138	136, 137	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) e. CC )
139	138	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 x. ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
140	134, 135, 139	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. 1 ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) x. ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
141	126, 128, 140	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) / ( ( 4 x. ( N x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
142	114, 141	eqtrd 2656	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
143	66, 142	breqtrd 4679	. 2 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , L ) ~~> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )
144	59	biimpi 206	. . . 4 |- ( j e. NN -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
145	144	adantl 482	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. ( ZZ>= ` 1 ) )
146	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> K = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) ) )
147		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. n ) )
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
150	147	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) )
151	149, 150	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) )
152	151	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) /\ k = n ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. k ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) )
153		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. NN )
154	153	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> n e. NN )
155		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 2 e. CC )
156	154	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> n e. CC )
157	155, 156	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
158		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 1 e. CC )
159	157, 158	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. CC )
160		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 0 e. RR )
161		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
162	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 2 e. RR )
163		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR )
164	162, 163	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR )
165	164, 161	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR )
166	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 0 < 1 )
167	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 2 e. RR+ )
168		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
169	167, 168	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 2 x. n ) e. RR+ )
170	161, 169	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 < ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
171	160, 161, 165, 166, 170	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 0 < ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
172	153, 171	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> 0 < ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
173	172	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) =/= 0 )
174	173	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) =/= 0 )
175	159, 174	reccld 10794	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. CC )
176	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> N e. CC )
177	155, 176	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
178	177, 158	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
179	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) =/= 0 )
180	178, 179	reccld 10794	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. CC )
181		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
182	181	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 2 e. NN0 )
183	154	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> n e. NN0 )
184	182, 183	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
185	180, 184	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) e. CC )
186	175, 185	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) e. CC )
187	146, 152, 154, 186	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( K ` n ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) )
188	187	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( K ` n ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) )
189	171	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) =/= 0 )
190	165, 189	rereccld 10852	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR )
191	153, 190	syl 17	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR )
192	191	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR )
193	20, 29	rereccld 10852	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
194	193	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) e. RR )
195	194, 184	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) e. RR )
196	195	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) e. RR )
197	192, 196	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) e. RR )
198	188, 197	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( K ` n ) e. RR )
199		readdcl 10019	. . . 4 |- ( ( n e. RR /\ i e. RR ) -> ( n + i ) e. RR )
200	199	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ ( n e. RR /\ i e. RR ) ) -> ( n + i ) e. RR )
201	145, 198, 200	seqcl 12821	. 2 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , K ) ` j ) e. RR )
202	55	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> L = ( k e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
203		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
204	203	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) /\ k = n ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
205	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) e. CC )
206	205, 183	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) e. CC )
207	202, 204, 154, 206	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( L ` n ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
208	36	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) e. RR )
209	208, 183	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) e. RR )
210	207, 209	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( L ` n ) e. RR )
211	210	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( L ` n ) e. RR )
212	145, 211, 200	seqcl 12821	. 2 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , L ) ` j ) e. RR )
213	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> 2 e. ZZ )
214		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. ZZ )
215	213, 214	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
216		1exp 12889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
217	215, 216	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> ( 1 ^ ( 2 x. n ) ) = 1 )
218		1exp 12889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
219	214, 218	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> ( 1 ^ n ) = 1 )
220	217, 219	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> ( 1 ^ ( 2 x. n ) ) = ( 1 ^ n ) )
221	220	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 ^ ( 2 x. n ) ) = ( 1 ^ n ) )
222	178, 183, 182	expmuld 13011	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ ( 2 x. n ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ^ n ) )
223	221, 222	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 ^ ( 2 x. n ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ ( 2 x. n ) ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
224	158, 178, 179, 184	expdivd 13022	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) = ( ( 1 ^ ( 2 x. n ) ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ ( 2 x. n ) ) ) )
225	178	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. CC )
226	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 2 e. ZZ )
227	178, 179, 226	expne0d 13014	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) =/= 0 )
228	158, 225, 227, 183	expdivd 13022	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
229	223, 224, 228	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
230	229	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) = ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
231		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 1 e. RR+ )
233	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 2 e. RR )
234	154	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> n e. RR )
235	233, 234	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 2 x. n ) e. RR )
236	182	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 0 <_ 2 )
237	183	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 0 <_ n )
238	233, 234, 236, 237	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 0 <_ ( 2 x. n ) )
239	235, 238	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. RR+ )
240		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 1 e. RR )
241	232	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 0 <_ 1 )
242	161, 165, 170	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
243	153, 242	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> 1 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
244	243	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 1 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) )
245	232, 239, 240, 241, 244	lediv2ad 11894	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) <_ ( 1 / 1 ) )
246	158	div1d 10793	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / 1 ) = 1 )
247	245, 246	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) <_ 1 )
248	154, 190	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. RR )
249	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> N e. RR )
250	233, 249	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
251	14, 18, 120	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
252	251	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 0 <_ N )
253	233, 249, 236, 252	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
254	250, 253	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR+ )
255	254, 226	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
256	255	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) e. RR+ )
257	214	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> n e. ZZ )
258	256, 257	rpexpcld 13032	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) e. RR+ )
259	248, 240, 258	lemul1d 11915	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) <_ 1 <-> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) <_ ( 1 x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) ) )
260	247, 259	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) <_ ( 1 x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
261	206	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1 x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) = ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
262	260, 261	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) <_ ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
263	230, 262	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. n ) ) ) <_ ( ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
264	263, 187, 207	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( K ` n ) <_ ( L ` n ) )
265	264	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ j e. NN ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( K ` n ) <_ ( L ` n ) )
266	145, 198, 211, 265	serle 12856	. 2 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( seq 1 ( + , K ) ` j ) <_ ( seq 1 ( + , L ) ` j ) )
267	1, 2, 7, 143, 201, 212, 266	climle 14370	1 |- ( N e. NN -> ( ( B ` N ) - ( B ` ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( N x. ( N + 1 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   _eceu 14793   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  stirlinglem12  40302