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Theorem clwlksfclwwlk 26962

Description: There is a function between the set of closed walks (defined as words) of length n and the set of closed walks of length n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwlksfclwwlk.1
clwlksfclwwlk.2
clwlksfclwwlk.c	ClWalks
clwlksfclwwlk.f	substr

**Assertion**
Ref	Expression
clwlksfclwwlk	FinUSGraph $/\$ ClWWalksN

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem clwlksfclwwlk Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlksfclwwlk.c	. . . . . 6 ClWalks
2	1	rabeq2i 3197	. . . . 5 ClWalks $/\$
3		fusgrusgr 26214	. . . . . . . . . . . 12 FinUSGraph USGraph
4		usgrupgr 26077	. . . . . . . . . . . 12 USGraph UPGraph
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 FinUSGraph UPGraph
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 FinUSGraph $/\$ UPGraph
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 Vtx Vtx
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 iEdg iEdg
9		clwlksfclwwlk.1	. . . . . . . . . . 11
10		clwlksfclwwlk.2	. . . . . . . . . . 11
11	7, 8, 9, 10	upgrclwlkcompim 26677	. . . . . . . . . 10 UPGraph $/\$ ClWalks Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$
12	6, 11	sylan 488	. . . . . . . . 9 FinUSGraph $/\$ $/\$ ClWalks Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$
13		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word iEdg
14		clwlksfclwwlk.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 substr
15	9, 10, 1, 14	clwlksfclwwlk2wrd 26958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ Word Vtx
17		swrdcl 13419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word Vtx substr Word Vtx
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr Word Vtx
19		ffz0iswrd 13332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Vtx Word Vtx
20	19	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Vtx $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ Word Vtx
21		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 FinUSGraph $/\$
23	22	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Vtx $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$
24		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
25	24	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Vtx Vtx
26	22	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 FinUSGraph $/\$
27		ffz0hash 13231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ Vtx
28	26, 27	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 FinUSGraph $/\$ $/\$ Vtx
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 FinUSGraph $/\$ Vtx
30	21	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
32	31	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
33		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$
35	32, 34	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
36	35	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 FinUSGraph $/\$
38	29, 37	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Vtx FinUSGraph $/\$
39	25, 38	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Vtx FinUSGraph $/\$
40	39	3imp21 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Vtx $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$
41		swrdn0 13430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
42	20, 23, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Vtx $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
43		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 substr substr
45	44	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 substr substr
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Vtx $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr substr
47	42, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Vtx $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
48	47	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Vtx FinUSGraph $/\$ substr
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
50	49	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
53	18, 52	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr Word Vtx $/\$ substr
54		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ Word iEdg
55	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FinUSGraph $/\$ USGraph
56	54, 55	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ USGraph $/\$ Word iEdg
57		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ Vtx
58		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
59		ffz0hash 13231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ Vtx
60	59	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx
61		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
62		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
64		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
65		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
67	63, 64, 66	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$
69		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
70	64	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
72		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 69, 71, 73	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
75	74	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$
76	61, 75	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
78		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
79	78	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
81		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
83	77, 80, 82	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
84	83	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
85	60, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$
87	86	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$
89	58, 88	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FinUSGraph $/\$ $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$
91	90	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$
92		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ ..^iEdg $/\$
93	7, 8	usgrf 26050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 USGraph iEdg iEdg Vtx $\$
94	93	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 USGraph $/\$ Word iEdg iEdg iEdg Vtx $\$ $/\$ Word iEdg
95		clwlkclwwlklem2 26901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg iEdg Vtx $\$ $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ $/\$ ..^iEdg $/\$ lastS $/\$ ..^ iEdg $/\$ iEdg
96	94, 95	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 USGraph $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ $/\$ ..^iEdg $/\$ lastS $/\$ ..^ iEdg $/\$ iEdg
97		biid 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 lastS lastS
98		edgval 25941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Edg iEdg
99	98	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Edg iEdg
100	99	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ Edg ..^ iEdg
101	98	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Edg iEdg
102	97, 100, 101	3anbi123i 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 lastS $/\$ ..^ Edg $/\$ Edg lastS $/\$ ..^ iEdg $/\$ iEdg
103	96, 102	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 USGraph $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ $/\$ ..^iEdg $/\$ lastS $/\$ ..^ Edg $/\$ Edg
104	56, 57, 91, 92, 103	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ lastS $/\$ ..^ Edg $/\$ Edg
105	9, 10, 1, 14	clwlksfclwwlk1hash 26960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
106		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Word Vtx
107		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^
108		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
109		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
111	64	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
112		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
113	109, 110, 111, 112	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
114		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ..^ ..^
115	108, 113, 114	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^ ..^
116	115	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ ..^ ..^
117	116	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ ..^
118		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
119	106, 107, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr
120	119	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr
121		elfzom1elp1fzo 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ ..^ ..^
122	108, 121	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ ..^ ..^
123	122	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ ..^
124		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
125	124	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
126	106, 107, 123, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr
127	120, 126	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr substr
128	127	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Word Vtx ..^ substr substr
129	105, 15, 128	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ substr substr
130	129	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^ substr substr
131	130	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ ..^ Edg substr substr Edg
132	131	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ Edg ..^ substr substr Edg
133	132	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
134	9, 10, 1, 14	clwlksfclwwlk2sswd 26961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 substr
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 substr
136	135	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ ..^ ..^ substr
138	137	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ ..^ substr substr Edg ..^ substr substr substr Edg
139	133, 138	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
140		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
141	140	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
142	141	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
143		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
144		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$
145		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$
146		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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148		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $/\$
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151	150	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$
154		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
155	153, 154	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	152, 155	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	144, 156	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	157, 158	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
160		swrd0fvlsw 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Word Vtx $/\$ lastS substr
161	160	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Word Vtx $/\$ lastS substr
162		swrd0fv0 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Word Vtx $/\$ substr
163	162	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Word Vtx $/\$ substr
164	161, 163	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Word Vtx $/\$ lastS substr substr
165	164	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Word Vtx lastS substr substr
166	159, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ Word Vtx lastS substr substr
167	166	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Word Vtx lastS substr substr
168	167	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Word Vtx lastS substr substr
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172	171	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 lastS substr substr
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ lastS substr substr
174	173	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ lastS substr substr
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176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FinUSGraph $/\$ $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ lastS substr substr
177	176	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ lastS substr substr
178	177	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ Edg lastS substr substr Edg
179	139, 178	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ lastS $/\$ ..^ Edg $/\$ Edg lastS $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
180	104, 179	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ lastS $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
181		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 lastS $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
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183		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 substr Word Vtx $/\$ substr $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg substr Word Vtx $/\$ substr $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
184	53, 182, 183	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr Word Vtx $/\$ substr $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
185		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Edg Edg
186	7, 185	isclwwlks 26880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 substr ClWWalks substr Word Vtx $/\$ substr $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
187	184, 186	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$ substr ClWWalks
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189	188	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 substr
190	189	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ substr
191	190	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ substr
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194	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FinUSGraph $/\$
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204	203	com14 96	. . . . . . . . . 10 FinUSGraph $/\$ Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^iEdg $/\$ substr ClWWalksN
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213	212, 14	fmptd 6385	1 FinUSGraph $/\$ ClWWalksN

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

crab 2916 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

csn 4177

cpr 4179

cop 4183 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

crn 5115

wf 5884

wf1 5885

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 substr csubstr 13295

cprime 15385 Vtxcvtx 25874 iEdgciedg 25875 Edgcedg 25939 UPGraph cupgr 25975 USGraph cusgr 26044 FinUSGraph cfusgr 26208 ClWalkscclwlks 26666 ClWWalkscclwwlks 26875 ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-substr 13303 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-prm 15386 df-edg 25940 df-uhgr 25953 df-upgr 25977 df-uspgr 26045 df-usgr 26046 df-fusgr 26209 df-wlks 26495 df-clwlks 26667 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: clwlksfoclwwlk 26963 clwlksf1clwwlk 26969

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