Theorem clwwisshclwwslemlem 26926

Description: Lemma for clwwisshclwwslem 26927. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslemlem	|- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + 1 ) + B ) mod L ) ) } e. R )

Distinct variable groups:   A, i   B, i   i, L   R, i   i, W

Proof of Theorem clwwisshclwwslemlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11382	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2	1	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. CC )
3		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. CC )
4		zcn 11382	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5	4	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. CC )
6	2, 3, 5	add32d 10263	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + 1 ) + B ) = ( ( A + B ) + 1 ) )
7	6	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( A + 1 ) + B ) mod L ) = ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( W ` ( ( ( A + 1 ) + B ) mod L ) ) = ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) )
9	8	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> ( W ` ( ( ( A + 1 ) + B ) mod L ) ) = ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) )
10	9	preq2d 4275	. 2 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + 1 ) + B ) mod L ) ) } = { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } )
11		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
12	11	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
13		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) -> L e. NN )
14	13	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> L e. NN )
15	12, 14	zmodcld 12691	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + B ) mod L ) e. NN0 )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( ( A + B ) mod L ) e. NN0 )
17		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( L - 1 ) e. NN )
18	17	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( L - 1 ) e. NN )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( L - 1 ) e. NN )
20		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) )
21		elfzo0 12508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) <-> ( ( ( A + B ) mod L ) e. NN0 /\ ( L - 1 ) e. NN /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) )
22	16, 19, 20, 21	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( ( A + B ) mod L ) -> ( W ` i ) = ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) )
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( ( A + B ) mod L ) -> ( i + 1 ) = ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( ( A + B ) mod L ) -> ( W ` ( i + 1 ) ) = ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) )
26	23, 25	preq12d 4276	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( ( A + B ) mod L ) -> { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } = { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) } )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( i = ( ( A + B ) mod L ) -> ( { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R <-> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) } e. R ) )
28	27	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) } e. R ) )
29	22, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) } e. R ) )
30	11	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. RR )
31	30	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. RR )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( A + B ) e. RR )
33	13	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) -> L e. RR+ )
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> L e. RR+ )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> L e. RR+ )
36		modltm1p1mod 12722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ L e. RR+ /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) = ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) )
37	32, 35, 20, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) = ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) = ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) )
39	38	preq2d 4275	. . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } = { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) } )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R <-> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) mod L ) + 1 ) ) } e. R ) )
41	29, 40	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
42	41	impancom 456	. . . 4 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R ) -> ( ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
43	42	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> ( ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
44		zmodfzo 12693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A + B ) e. ZZ /\ L e. NN ) -> ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ L ) )
45	12, 14, 44	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ L ) )
46		elfzonlteqm1 12543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ L ) /\ -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( ( A + B ) mod L ) = ( L - 1 ) )
47	46	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ L ) /\ -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) ) -> ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) )
48	47	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A + B ) mod L ) e. ( 0..^ L ) -> ( -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) )
49	45, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) -> ( W ` ( L - 1 ) ) = ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( W ` ( L - 1 ) ) = ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) )
52		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
53		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
54		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
55	52, 53, 54	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. RR )
56	55	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. RR )
57	56, 34	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + B ) e. RR /\ L e. RR+ ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( ( A + B ) e. RR /\ L e. RR+ ) )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) )
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( ( A + B ) mod L ) = ( L - 1 ) )
61		modm1p1mod0 12721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ L e. RR+ ) -> ( ( ( A + B ) mod L ) = ( L - 1 ) -> ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) = 0 ) )
62	58, 60, 61	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) = 0 )
63	62	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> 0 = ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( W ` 0 ) = ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) )
65	51, 64	preq12d 4276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } = { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } )
66	65	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R <-> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
67	66	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) ) -> ( { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
68	67	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( L - 1 ) = ( ( A + B ) mod L ) -> ( { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) ) )
69	49, 68	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> ( { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) ) )
70	69	com23 86	. . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R -> ( -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) ) )
71	70	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> ( -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
72	71	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> ( -. ( ( A + B ) mod L ) < ( L - 1 ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R ) )
73	43, 72	pm2.61d 170	. 2 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + B ) + 1 ) mod L ) ) } e. R )
74	10, 73	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ( L e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( L - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. R /\ { ( W ` ( L - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. R ) -> { ( W ` ( ( A + B ) mod L ) ) , ( W ` ( ( ( A + 1 ) + B ) mod L ) ) } e. R )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669

This theorem is referenced by:  clwwisshclwwslem  26927