wwlksubclwwlks - Metamath Proof Explorer

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Theorem wwlksubclwwlks 26925

Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
wwlksubclwwlks	$/\$ ClWWalksN substr WWalksN

Proof of Theorem wwlksubclwwlks Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 Vtx Vtx
2		eqid 2622	. . . . . 6 Edg Edg
3	1, 2	clwwlknp 26887	. . . . 5 ClWWalksN Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ lastS Edg
4		swrdcl 13419	. . . . . . . . . 10 Word Vtx substr Word Vtx
5	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ substr Word Vtx
6	5	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ substr Word Vtx
7		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
9	8	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14	13	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15		eluzuzle 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
16	12, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	10, 16	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	17	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
19		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ ..^
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
22		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ ..^ Edg ..^ Edg
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
24		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word Vtx
26		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
27	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
28		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
31		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
33	13	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
37	27, 30, 32, 34, 36	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
38		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
42		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
43	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
44	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
45	42, 43, 44	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	38	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
49	48	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
50		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
51	46, 49, 50	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
52	41, 51	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
53		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
54	52, 53	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
55	54	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
57	39, 55, 56	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	37, 57	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	26, 60	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
62	61	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
63		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
64	62, 63	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67	66	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Vtx $/\$
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
70	65, 69	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
72		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
73	12, 7, 14, 72	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
76	75	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
77	76	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
79		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
80	25, 71, 78, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
81	80	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
82		fzonn0p1p1 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
83		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
87	86	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
88	82, 87	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
89	88	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
90	89	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
91		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
92	25, 71, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
93	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
94	81, 93	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr substr
95	94	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg substr substr Edg
96	95	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
97	23, 96	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
98	97	impancom 456	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr Edg
99	98	imp 445	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ ..^ substr substr Edg
100	24, 70	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$
101	100	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$
102		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ substr
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ substr
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ substr
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ ..^ substr ..^
106	105	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ ..^ substr substr substr Edg ..^ substr substr Edg
107	99, 106	mpbird 247	. . . . . . . 8 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ ..^ substr substr substr Edg
108	24, 70, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ substr
109	85	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11
110	109	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
111	108, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ substr
112	111	adantlr 751	. . . . . . . 8 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ substr
113	6, 107, 112	3jca 1242	. . . . . . 7 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
114	113	ex 450	. . . . . 6 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
115	114	3adant3 1081	. . . . 5 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg $/\$ lastS Edg $/\$ substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
116	3, 115	syl 17	. . . 4 ClWWalksN $/\$ substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
117	116	impcom 446	. . 3 $/\$ $/\$ ClWWalksN substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
118		nnm1nn0 11334	. . . . 5
119	118	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ ClWWalksN
120	1, 2	iswwlksnx 26731	. . . 4 substr WWalksN substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
121	119, 120	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$ ClWWalksN substr WWalksN substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ substr
122	117, 121	mpbird 247	. 2 $/\$ $/\$ ClWWalksN substr WWalksN
123	122	ex 450	1 $/\$ ClWWalksN substr WWalksN

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wss 3574

cpr 4179

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 WWalksN cwwlksn 26718 ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-substr 13303 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: numclwlk2lem2f 27236

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