Theorem clwwisshclwwslem 26927

Description: Lemma for clwwisshclwws 26928. (Contributed by AV, 24-Mar-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwisshclwwslem	|- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) -> A. j e. ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } e. E ) )

Distinct variable groups:   i, E, j   i, N, j   i, V, j   i, W, j

Proof of Theorem clwwisshclwwslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) -> N e. ZZ )
2		cshwlen 13545	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( W cyclShift N ) ) = ( # ` W ) )
3	1, 2	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( # ` ( W cyclShift N ) ) = ( # ` W ) )
4	3	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) = ( ( # ` W ) - 1 ) )
5	4	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) = ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) <-> j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) -> ( j e. ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) <-> j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) )
8		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> W e. Word V )
9	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
10		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. NN0 )
11		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. ZZ )
12		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) e. ZZ -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ )
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. RR )
15	14	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) )
16		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) <-> ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) )
17	13, 11, 15, 16	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
20		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) )
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
23		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ZZ /\ j e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift N ) ` j ) = ( W ` ( ( j + N ) mod ( # ` W ) ) ) )
24	8, 9, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( ( W cyclShift N ) ` j ) = ( W ` ( ( j + N ) mod ( # ` W ) ) ) )
25		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) <-> ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) )
26	25	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
28		elfzom1p1elfzo 12547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` W ) e. NN /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
29	27, 28	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
30		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ZZ /\ ( j + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) = ( W ` ( ( ( j + 1 ) + N ) mod ( # ` W ) ) ) )
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) = ( W ` ( ( ( j + 1 ) + N ) mod ( # ` W ) ) ) )
32	24, 31	preq12d 4276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } = { ( W ` ( ( j + N ) mod ( # ` W ) ) ) , ( W ` ( ( ( j + 1 ) + N ) mod ( # ` W ) ) ) } )
33	32	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } = { ( W ` ( ( j + N ) mod ( # ` W ) ) ) , ( W ` ( ( ( j + 1 ) + N ) mod ( # ` W ) ) ) } )
34		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> 2 e. ZZ )
36		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) e. ZZ )
37	36	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. ZZ )
38		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) e. NN0 )
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. NN0 )
40		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) =/= 0 )
41	40	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) =/= 0 )
42		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> 1 e. RR )
43		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> N e. RR )
45		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) e. RR )
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. RR )
47		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
48	47	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> 1 <_ N )
49		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> N < ( # ` W ) )
50	42, 44, 46, 48, 49	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> 1 < ( # ` W ) )
51	42, 50	gtned 10172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) =/= 1 )
52		nn0n0n1ge2 11358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ ( # ` W ) =/= 0 /\ ( # ` W ) =/= 1 ) -> 2 <_ ( # ` W ) )
53	39, 41, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> 2 <_ ( # ` W ) )
54		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` W ) ) )
55	35, 37, 53, 54	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ N < ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
56	25, 55	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
57	56	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
58		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) -> j e. ZZ )
59	58	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
60	1	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
61		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E )
62		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Word V -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) )
64	63	preq1d 4274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } = { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } )
65	64	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E <-> { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
66	65	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 |- ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) -> ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. E ) )
68	67	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) -> { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. E )
69	68	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. E )
70		clwwisshclwwslemlem 26926	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( W ` ( ( # ` W ) - 1 ) ) , ( W ` 0 ) } e. E ) -> { ( W ` ( ( j + N ) mod ( # ` W ) ) ) , ( W ` ( ( ( j + 1 ) + N ) mod ( # ` W ) ) ) } e. E )
71	57, 59, 60, 61, 69, 70	syl311anc 1340	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> { ( W ` ( ( j + N ) mod ( # ` W ) ) ) , ( W ` ( ( ( j + 1 ) + N ) mod ( # ` W ) ) ) } e. E )
72	33, 71	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) /\ j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } e. E )
73	72	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) -> ( j e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) -> { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } e. E ) )
74	7, 73	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) -> ( j e. ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) -> { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } e. E ) )
75	74	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) ) -> A. j e. ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } e. E )
76	75	ex 450	1 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. E /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. E ) -> A. j e. ( 0..^ ( ( # ` ( W cyclShift N ) ) - 1 ) ) { ( ( W cyclShift N ) ` j ) , ( ( W cyclShift N ) ` ( j + 1 ) ) } e. E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  clwwisshclwws  26928