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Theorem clwwlksext2edg 26923

Description: If a word concatenated with a vertex represents a closed walk in (in a graph), there is an edge between this vertex and the last vertex of the word, and between this vertex and the first vertex of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlksext2edg.v	Vtx
clwwlksext2edg.e	Edg

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlksext2edg	Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Proof of Theorem clwwlksext2edg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlksext2edg.v	. . . 4 Vtx
2	1	clwwlknbp0 26884	. . 3 ++ ClWWalksN $/\$ $/\$ ++ Word $/\$ ++
3		clwwlksext2edg.e	. . . . . 6 Edg
4	1, 3	isclwwlksnx 26889	. . . . 5 ++ ClWWalksN ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ++
5	4	ad2antlr 763	. . . 4 $/\$ $/\$ ++ Word $/\$ ++ ++ ClWWalksN ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ++
6		ige2m2fzo 12530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
7	6	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ..^
9		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ++ ++
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ..^ ++ ..^
11	10	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ..^ ++ ..^
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ..^ ++ ..^
13	8, 12	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ..^ ++
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ++ ++
17	14, 16	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++ ++ ++
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++ ++
19	18	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ++ ..^ ++ ++ ++ ++ ++
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ..^ ++ ++ ++ ++ ++
21		wrdlenccats1lenm1 13399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ ++
22	21, 9	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ ++
23	22	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ ++
24	23	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ++
25		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
27	25, 26, 26	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
28		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	27, 30	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
33		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35	32, 34	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$
36	35	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
37	24, 36	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ++
38	37	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++ ++
40		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ Word
41		s1cl 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
42	41	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ Word
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$ Word
44		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
45		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
46		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
47		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
49		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
50		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
52		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
53	46, 48, 49, 51, 52	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
54		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
55		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
56	54, 55	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
58	53, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
60	45, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
62	61	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
63	44, 62	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
64	63	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$
65		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$
67	64, 66	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$
68		hashneq0 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$
71	67, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$
72	71	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ $/\$
73	40, 43, 72	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ Word $/\$
74	73	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ Word $/\$ Word $/\$
75	24, 74	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ++ Word $/\$ Word $/\$
76	75	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ Word $/\$ Word $/\$
77		ccatval1lsw 13368	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ++ lastS
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++ lastS
79	39, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++ lastS
80		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
82	81	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85	25, 84, 26	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86	83, 85	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$
88		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	87, 88	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
90	24, 89	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ++
91	90	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++ ++
93		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$
94	93	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ Word $/\$
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ Word $/\$
96		ccatws1ls 13410	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ ++
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++
98	92, 97	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++
99	79, 98	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++ ++ lastS
100	99	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++ ++ lastS
101	20, 100	sylibd 229	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ..^ ++ ++ ++ lastS
102	101	ex 450	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ ++ ..^ ++ ++ ++ lastS
103	102	com13 88	. . . . . . . 8 ..^ ++ ++ ++ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
104	103	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ++ Word $/\$ $/\$ lastS
105	104	imp31 448	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS
106	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$
107		lswccats1 13411	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ lastS ++
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
109	63	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$
111	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$
112	110, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$
113		ccatfv0 13367	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ ++
114	40, 43, 112, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++
115	108, 114	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
116	115	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
117	24, 116	syld 47	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ++ lastS ++ ++
118	117	impcom 446	. . . . . . . . . 10 ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
119	118	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
120	119	biimpcd 239	. . . . . . . 8 lastS ++ ++ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
121	120	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
122	121	impl 650	. . . . . 6 ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$
123	105, 122	jca 554	. . . . 5 ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ++ $/\$ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
124	123	ex 450	. . . 4 ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++ $/\$ ++ Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
125	5, 124	syl6bi 243	. . 3 $/\$ $/\$ ++ Word $/\$ ++ ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
126	2, 125	mpcom 38	. 2 ++ ClWWalksN Word $/\$ $/\$ lastS $/\$
127	126	impcom 446	1 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ClWWalksN lastS $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200

c0 3915

cpr 4179 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cuz 11687 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 ++ cconcat 13293

cs1 13294 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: numclwwlk2lem1 27235

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