Theorem hashneq0 13155

Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashneq0	|- ( A e. V -> ( 0 < ( # ` A ) <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 13130	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) e. NN0 \/ ( # ` A ) = +oo ) )
2		nn0re 11301	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( # ` A ) e. RR )
3		nn0ge0 11318	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` A ) )
4		ne0gt0 10142	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> 0 < ( # ` A ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> 0 < ( # ` A ) ) )
6	5	bicomd 213	. . . 4 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( 0 < ( # ` A ) <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
7		breq2 4657	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = +oo -> ( 0 < ( # ` A ) <-> 0 < +oo ) )
8		neeq1 2856	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) = +oo -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> +oo =/= 0 ) )
9		0ltpnf 11956	. . . . . . 7 |- 0 < +oo
10		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
11		renepnf 10087	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= +oo )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 0 =/= +oo
13	12	necomi 2848	. . . . . . 7 |- +oo =/= 0
14	9, 13	2th 254	. . . . . 6 |- ( 0 < +oo <-> +oo =/= 0 )
15	8, 14	syl6rbbr 279	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = +oo -> ( 0 < +oo <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
16	7, 15	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( # ` A ) = +oo -> ( 0 < ( # ` A ) <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
17	6, 16	jaoi 394	. . 3 |- ( ( ( # ` A ) e. NN0 \/ ( # ` A ) = +oo ) -> ( 0 < ( # ` A ) <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
18	1, 17	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> ( 0 < ( # ` A ) <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
19		hasheq0 13154	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
20	19	necon3bid 2838	. 2 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
21	18, 20	bitrd 268	1 |- ( A e. V -> ( 0 < ( # ` A ) <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashgt0n0  13156  wrdlenge1n0  13340  ccatws1n0  13409  swrdlsw  13452  2swrd1eqwrdeq  13454  ccats1swrdeq  13469  ccats1swrdeqrex  13478  wwlksnextinj  26794  clwwlksgt0  26906  clwwlksext2edg  26923  wwlksext2clwwlk  26924  clwwlkextfrlem1  27208  tgoldbachgt  30741  pfxsuff1eqwrdeq  41407  ccats1pfxeq  41421