Theorem cncongr2 15382

Description: The other direction of the bicondition in cncongr 15383. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cncongr2	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) )

Proof of Theorem cncongr2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2	1	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( A x. 0 ) = 0 )
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. 0 ) = 0 )
4		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5	4	mul01d 10235	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( B x. 0 ) = 0 )
6	5	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
7	3, 6	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. 0 ) = ( B x. 0 ) )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( A x. 0 ) = ( B x. 0 ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A x. 0 ) mod N ) = ( ( B x. 0 ) mod N ) )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ ( A mod M ) = ( B mod M ) ) -> ( ( A x. 0 ) mod N ) = ( ( B x. 0 ) mod N ) )
11		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( C = 0 -> ( A x. C ) = ( A x. 0 ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( C = 0 -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( A x. 0 ) mod N ) )
13		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( C = 0 -> ( B x. C ) = ( B x. 0 ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( C = 0 -> ( ( B x. C ) mod N ) = ( ( B x. 0 ) mod N ) )
15	12, 14	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( C = 0 -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> ( ( A x. 0 ) mod N ) = ( ( B x. 0 ) mod N ) ) )
16	10, 15	syl5ibr 236	. . 3 |- ( C = 0 -> ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ ( A mod M ) = ( B mod M ) ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( M = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( A mod M ) = ( A mod ( N / ( C gcd N ) ) ) )
18		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( M = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( B mod M ) = ( B mod ( N / ( C gcd N ) ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( M = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( B mod ( N / ( C gcd N ) ) ) ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( B mod ( N / ( C gcd N ) ) ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( B mod ( N / ( C gcd N ) ) ) ) )
22		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. NN )
23		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> C e. ZZ )
24		divgcdnnr 15237	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ C e. ZZ ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
25	22, 23, 24	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
26		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
27		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> B e. ZZ )
28		moddvds 14991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N / ( C gcd N ) ) e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( B mod ( N / ( C gcd N ) ) ) <-> ( N / ( C gcd N ) ) || ( A - B ) ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A mod ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( B mod ( N / ( C gcd N ) ) ) <-> ( N / ( C gcd N ) ) || ( A - B ) ) )
30	25	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. ZZ )
31		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( A - B ) e. ZZ )
34	30, 33	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
35		divides 14985	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N / ( C gcd N ) ) e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) || ( A - B ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) || ( A - B ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) ) )
37	21, 29, 36	3bitrd 294	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
39	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. ZZ )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. ZZ )
41	38, 40	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) e. ZZ )
42	41	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) e. CC )
43	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. CC )
44	43	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A - B ) e. CC )
45	44	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( A - B ) e. CC )
46	23	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> C e. CC )
47	46	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> C e. CC )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) -> C =/= 0 )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> C =/= 0 )
50	42, 45, 47, 49	mulcan2d 10661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( ( A - B ) x. C ) <-> ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) ) )
51		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. ZZ -> C e. CC )
52		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )
53	1, 4, 51, 52	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )
55	54	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( ( A - B ) x. C ) <-> ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
56	50, 55	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) <-> ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
57		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
60	59	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> k e. CC )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> k e. CC )
62	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> C e. CC )
63		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> N e. NN )
64	63	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
65	23, 64	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
66		gcdcl 15228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
68	67	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
69		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
70	69	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> -. N = 0 )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> -. N = 0 )
73	72	intnand 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> -. ( C = 0 /\ N = 0 ) )
74		gcdeq0 15238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( C gcd N ) = 0 <-> ( C = 0 /\ N = 0 ) ) )
75	65, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd N ) = 0 <-> ( C = 0 /\ N = 0 ) ) )
76	75	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd N ) =/= 0 <-> -. ( C = 0 /\ N = 0 ) ) )
77	73, 76	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) =/= 0 )
78	61, 62, 68, 77	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) = ( k x. ( C / ( C gcd N ) ) ) )
79	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> k e. ZZ )
80	57, 69	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
82	23, 81	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) )
83		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) <-> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) )
84	82, 83	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
85		divgcdz 15233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( C / ( C gcd N ) ) e. ZZ )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( C / ( C gcd N ) ) e. ZZ )
87	79, 86	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( k x. ( C / ( C gcd N ) ) ) e. ZZ )
88	78, 87	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) e. ZZ )
89		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) e. ZZ ) -> N || ( N x. ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) ) )
90	58, 88, 89	syl2an2 875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> N || ( N x. ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) ) )
91	63	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN /\ k e. ZZ ) -> N e. CC )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> N e. CC )
93		divmulasscom 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k e. CC /\ N e. CC /\ C e. CC ) /\ ( ( C gcd N ) e. CC /\ ( C gcd N ) =/= 0 ) ) -> ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( N x. ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) ) )
94	61, 92, 62, 68, 77, 93	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( N x. ( ( k x. C ) / ( C gcd N ) ) ) )
95	90, 94	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ k e. ZZ ) ) -> N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) )
96	95	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( N e. NN -> ( k e. ZZ -> N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) ) ) )
97	96	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> ( k e. ZZ -> N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) ) ) )
98	97	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( k e. ZZ -> N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) -> ( k e. ZZ -> N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) ) )
100	99	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) )
101		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( N || ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) <-> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
102	100, 101	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
103	56, 102	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) -> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
104	103	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) -> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
105	22	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. NN )
106		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
107	106	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
109		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
110	109	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
112		moddvds 14991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A x. C ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
113	105, 108, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> N || ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
115	104, 114	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ C =/= 0 ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) )
116	115	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C =/= 0 -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) ) )
117	116	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( N / ( C gcd N ) ) ) = ( A - B ) -> ( C =/= 0 -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) ) )
118	37, 117	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) -> ( C =/= 0 -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) ) )
119	118	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ ( A mod M ) = ( B mod M ) ) -> ( C =/= 0 -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) )
120	119	com12 32	. . 3 |- ( C =/= 0 -> ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ ( A mod M ) = ( B mod M ) ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) )
121	16, 120	pm2.61ine 2877	. 2 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ ( A mod M ) = ( B mod M ) ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) )
122	121	ex 450	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) -> ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   mod cmo 12668   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  cncongr  15383