Theorem divassd 10836

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divassd.4	|- ( ph -> C =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divassd	|- ( ph -> ( ( A x. B ) / C ) = ( A x. ( B / C ) ) )

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmuld.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		divassd.4	. 2 |- ( ph -> C =/= 0 )
5		divass 10703	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( A x. B ) / C ) = ( A x. ( B / C ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1330	1 |- ( ph -> ( ( A x. B ) / C ) = ( A x. ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  zesq  12987  discr  13001  crre  13854  abs1m  14075  sqreulem  14099  o1rlimmul  14349  geoisum1c  14611  mertenslem1  14616  eftlub  14839  lcmgcdlem  15319  cncongr2  15382  isprm5  15419  pcaddlem  15592  pockthlem  15609  mul4sqlem  15657  4sqlem17  15665  odadd1  18251  nmoleub3  22919  ipcau2  23033  pjthlem1  23208  dvrec  23718  plyeq0lem  23966  aareccl  24081  dvradcnv  24175  abelthlem7  24192  tangtx  24257  tanarg  24365  logcnlem4  24391  mcubic  24574  cubic2  24575  dquart  24580  quart1lem  24582  quart1  24583  tanatan  24646  atantan  24650  dvatan  24662  atantayl  24664  log2cnv  24671  lgamgulmlem4  24758  basellem3  24809  perfectlem2  24955  bposlem1  25009  bposlem2  25010  lgsquad2lem1  25109  chebbnd1lem2  25159  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  selberg4r  25259  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntibndlem2  25280  pntlemo  25296  ostth2lem3  25324  axeuclidlem  25842  pjhthlem1  28250  signsplypnf  30627  hgt750leme  30736  subfaclim  31170  circum  31568  faclimlem1  31629  faclimlem3  31631  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem17  32519  itg2addnclem  33461  dvasin  33496  areacirclem1  33500  pellexlem6  37398  reglogexp  37458  binomcxplemwb  38547  binomcxplemnotnn0  38555  0ellimcdiv  39881  stoweidlem1  40218  wallispilem4  40285  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem7  40297  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem2  40321  fourierdlem30  40354  fourierdlem83  40406  elaa2lem  40450  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem44  40495  etransclem45  40496  perfectALTVlem2  41631