Theorem dihglb2 36631

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	|- B = ( Base ` K )
dihglb.g	|- G = ( glb ` K )
dihglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihglb.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihglb2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihglb2.v	|- V = ( Base ` U )

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, K   x, S, y   y, B   y, H   y, I   y, K   y, S   y, V   y, W

Allowed substitution hints:   U( x, y)   G( x, y)   H( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B )
4		hlop 34649	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OP )
5	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> K e. OP )
6		dihglb.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	6, 7	op1cl 34472	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 1. ` K ) e. B )
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. B )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ V )
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 36575	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( 1. ` K ) ) = V )
17	10, 16	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( I ` x ) = ( I ` ( 1. ` K ) ) )
19	18	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( x = ( 1. ` K ) -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
20	19	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( ( 1. ` K ) e. B /\ S C_ ( I ` ( 1. ` K ) ) ) )
21	9, 17, 20	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } )
22		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( 1. ` K ) e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) )
24		dihglb.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
25	6, 24, 11, 12	dihglb 36630	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( { x e. B | S C_ ( I ` x ) } C_ B /\ { x e. B | S C_ ( I ` x ) } =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
26	1, 3, 23, 25	syl12anc 1324	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) )
27		fvex 6201	. . . 4 |- ( I ` z ) e. _V
28	27	dfiin2 4555	. . 3 |- |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) }
29	6, 11, 12	dihfn 36557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> I Fn B )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> I Fn B )
31		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn B -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z e. B ( I ` z ) = y ) )
33		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I ` z ) = y <-> y = ( I ` z ) )
34	33	rexbii 3041	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z e. B y = ( I ` z ) )
35		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
36	34, 35	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B ( I ` z ) = y <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) )
37	32, 36	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) /\ S C_ y ) -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) )
38	37	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( S C_ y -> ( y e. ran I <-> E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) ) ) )
39	38	pm5.32rd 672	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( ( y e. ran I /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) ) )
40		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( I ` x ) = ( I ` z ) )
42	41	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( S C_ ( I ` x ) <-> S C_ ( I ` z ) ) )
43	42	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) )
44	43	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
45		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( I ` z ) -> ( S C_ y <-> S C_ ( I ` z ) ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( I ` z ) -> ( ( z e. B /\ S C_ y ) <-> ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) ) )
47	46	pm5.32ri 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ S C_ ( I ` z ) ) /\ y = ( I ` z ) ) )
48		an32 839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. B /\ S C_ y ) /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
49	44, 47, 48	3bitr2i 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
50	49	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } /\ y = ( I ` z ) ) <-> E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
51		19.41v 1914	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) )
52	40, 50, 51	3bitrri 287	. . . . . . 7 |- ( ( E. z ( z e. B /\ y = ( I ` z ) ) /\ S C_ y ) <-> E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) )
53	39, 52	syl6rbb 277	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) <-> ( y e. ran I /\ S C_ y ) ) )
54	53	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) } )
55		df-rab 2921	. . . . 5 |- { y e. ran I | S C_ y } = { y | ( y e. ran I /\ S C_ y ) }
56	54, 55	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = { y e. ran I | S C_ y } )
57	56	inteqd 4480	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^| { y | E. z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } y = ( I ` z ) } = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
58	28, 57	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> |^|_ z e. { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ( I ` z ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )
59	26, 58	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ V ) -> ( I ` ( G ` { x e. B | S C_ ( I ` x ) } ) ) = |^| { y e. ran I | S C_ y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   |^|_ciin 4521   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   Basecbs 15857   glbcglb 16943   1.cp1 17038   OPcops 34459   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   DIsoHcdih 36517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518

This theorem is referenced by:  dochval2  36641